Jednosměrná vlnová rovnice - One-way wave equation - Wikipedia

A jednosměrná vlnová rovnice je parciální diferenciální rovnice používané ve vědeckých oborech, jako je geofyzika, jehož řešení zahrnuje pouze vlny které se šíří jedním směrem.^[1] V jednorozměrném případě umožňuje jednosměrná vlnová rovnice vypočítat šíření vln bez komplikací s odchozí i příchozí vlnou (např. Destruktivní nebo konstruktivní interference). Několik metod aproximace používá 1D jednosměrnou vlnovou rovnici pro 3D seismické výpočty.^[2]^[3]^[4]

Jednorozměrný případ

Standardní Vlnová rovnice 2. řádu v jedné dimenzi lze psát jako:

{ displaystyle { frac { částečné ^ {2} s} { částečné t ^ {2}}} - c ^ {2} { frac { částečné ^ {2} s} { částečné x ^ {2 }}} = 0}

,

kde ${ displaystyle x}$ je souřadnice, ${ displaystyle t}$ je čas, ${ displaystyle s = s (x, t)}$ je posunutí a ${ displaystyle c}$ je rychlost vln.

Kvůli nejednoznačnosti ve směru rychlosti vln, ${ displaystyle c ^ {2} = (+ c) ^ {2} = (- c) ^ {2}}$ , rovnice neomezuje směr vlnění, a proto má řešení šířící se dopředu ( ${ displaystyle + x}$ ) a zpět ( ${ displaystyle -x}$ ) Pokyny. Obecným řešením rovnice je řešení v těchto dvou směrech:

{ textstyle s (x, t) = s _ {+} (t-x / c) + s _ {-} (t + x / c)}

kde ${ displaystyle s _ {+}}$ a ${ displaystyle s _ {-}}$ jsou stejná a opačná posunutí.

Když je formulován problém jednosměrných vln, směr šíření vln lze libovolně zvolit zachováním jednoho ze dvou termínů v obecném řešení.

Factoring operátor na levé straně rovnice získá dvojici jednosměrných vlnových rovnic, jednu s řešeními, která se šíří dopředu a druhou s řešeními, která se šíří dozadu.^[5]^[6]

{ displaystyle { biggl (} { částečné ^ {2} nad částečné t ^ {2}} - c ^ {2} { částečné ^ {2} nad částečné x ^ {2}} { biggr)} s = { biggl (} { částečné nad částečné t} -c { částečné nad částečné x} { biggr)} { biggl (} { částečné nad částečné t} + c { částečné nad částečné x} { biggr)} s = 0,}

Jsou popsány dopředu a dozadu postupující vlny,

{ textstyle { begin {aligned} & {{ frac { částečné s} { částečné t}} - c { frac { částečné s} { částečné x}} = 0} [6pt] & {{ frac { částečné s} { částečné t}} + c { frac { částečné s} { částečné x}} = 0} konec {zarovnáno}}}

Jednosměrné vlnové rovnice (v homogenním prostředí) lze také odvodit přímo z charakteristiky specifická akustická impedance.^{[pochybný – diskutovat]} V podélné rovinné vlně určuje specifická impedance lokální proporcionalitu tlaku ${ displaystyle p = p (x, t)}$ a rychlost částic ${ displaystyle v = v (x, t)}$ :^{[Citace je zapotřebí ]}

{ displaystyle { frac {p} {v}} = rho c,}

s

{ displaystyle rho}

= hustota.

Konverze impedanční rovnice vede k:

{ displaystyle v - { frac {1} { rho c}} p = 0}

(*)

Podélná rovinná vlna úhlové frekvence ${ displaystyle omega}$ má posunutí ${ displaystyle s = s (x, t)}$ . Tlak ${ displaystyle p}$ a rychlost částic ${ displaystyle v}$ lze vyjádřit jako posunutí ${ displaystyle s}$ ( ${ displaystyle E}$ : Elastický modul ):^[7]^{[je zapotřebí lepší zdroj ]}

{ displaystyle p: = E { částečné s nad částečné x}}

[Toto je v plné analogii s stres

{ displaystyle sigma}

v mechanika:

{ displaystyle sigma = E epsilon}

, s kmen je definován jako

{ displaystyle epsilon = { frac { Delta L} {L}}}

]

{ displaystyle v = { částečné s nad částečné t}}

Tyto vztahy vložené do rovnice výše (*) přinesou:

{ displaystyle { částečné s přes částečné t} - {E over rho c} { částečné s přes částečné x} = 0}

S definicí místní rychlosti vln (rychlost zvuku ):

{ displaystyle c = { sqrt {E (x) over rho (x)}} Leftrightarrow c = {E over rho c}}

přímo následuje parciální diferenciální rovnici 1. řádu rovnice jednosměrné vlny:

{ displaystyle {{ frac { částečné s} { částečné t}} - c { frac { částečné s} { částečné x}} = 0}}

Rychlost vlny ${ displaystyle c}$ lze v rámci této vlnové rovnice nastavit jako ${ displaystyle + c}$ nebo ${ displaystyle -c}$ podle směru šíření vln.