Numerova metoda - Numerovs method - Wikipedia

Numerovova metoda (nazývaná také Cowellova metoda) je numerická metoda řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, ve kterém se výraz prvního řádu neobjevuje. Je to čtvrtý řád lineární vícestupňová metoda. Metoda je implicitní, ale lze ji učinit explicitní, pokud je diferenciální rovnice lineární.

Numerovovu metodu vyvinul ruský astronom Boris Vasil'evich Numerov.

Metoda

K řešení diferenciálních rovnic formy lze použít Numerovovu metodu

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = - g (x) y (x) + s (x).}$

V něm tři hodnoty ${ displaystyle y_ {n-1}, y_ {n}, y_ {n + 1}}$ pořízeno ve třech ekvidistantních bodech ${ displaystyle x_ {n-1}, x_ {n}, x_ {n + 1}}$ souvisí takto:

${ displaystyle y_ {n + 1} left (1 + { frac {h ^ {2}} {12}} g_ {n + 1} right) = 2y_ {n} left (1 - { frac {5h ^ {2}} {12}} g_ {n} vpravo) -y_ {n-1} vlevo (1 + { frac {h ^ {2}} {12}} g_ {n-1} right) + { frac {h ^ {2}} {12}} (s_ {n + 1} + 10s_ {n} + s_ {n-1}) + { mathcal {O}} (h ^ { 6}),}$

kde ${ displaystyle y_ {n} = y (x_ {n})}$, ${ displaystyle g_ {n} = g (x_ {n})}$, ${ displaystyle s_ {n} = s (x_ {n})}$, a ${ displaystyle h = x_ {n + 1} -x_ {n}}$.

Nelineární rovnice

Pro nelineární rovnice tvaru

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = f (x, y),}$

metoda dává

${ displaystyle y_ {n + 1} -2r_ {n} + y_ {n-1} = { frac {h ^ {2}} {12}} (f_ {n + 1} + 10f_ {n} + f_ {n-1}) + { mathcal {O}} (h ^ {6}).}$

To je implicitní lineární vícestupňová metoda, což se redukuje na explicitní metodu uvedenou výše, pokud ${ displaystyle f}$ je lineární v ${ displaystyle y}$ nastavením ${ displaystyle f (x, y) = - g (x) y (x) + s (x)}$. Dosahuje přesnosti řádu 4 (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.10).

aplikace

V numerické fyzice se metoda používá k hledání řešení jednodimenzionálního Schrödingerova rovnice pro libovolné potenciály. Příkladem je řešení radiální rovnice pro sféricky symetrický potenciál. V tomto příkladu nám po oddělení proměnných a analytickém řešení úhlové rovnice zbývá následující rovnice radiální funkce ${ displaystyle R (r)}$:

${ displaystyle { frac {d} {dr}} vlevo (r ^ {2} { frac {dR} {dr}} vpravo) - { frac {2mr ^ {2}} { hbar ^ { 2}}} (V (r) -E) R (r) = l (l + 1) R (r).}$

Tuto rovnici lze redukovat na formu nezbytnou pro použití Numerovovy metody s následující substitucí:

${ displaystyle u (r) = rR (r) Rightarrow R (r) = { frac {u (r)} {r}},}$

${ displaystyle { frac {dR} {dr}} = { frac {1} {r}} { frac {du} {dr}} - { frac {u (r)} {r ^ {2} }} = { frac {1} {r ^ {2}}} vlevo (r { frac {du} {dr}} - u (r) vpravo) Rightarrow { frac {d} {dr} } left (r ^ {2} { frac {dR} {dr}} right) = { frac {du} {dr}} + r { frac {d ^ {2} u} {dr ^ { 2}}} - { frac {du} {dr}} = r { frac {d ^ {2} u} {dr ^ {2}}}.}$

A když provedeme substituci, stane se radiální rovnice

${ displaystyle r { frac {d ^ {2} u} {dr ^ {2}}} - { frac {2mr} { hbar ^ {2}}} (V (r) -E) u (r ) = { frac {l (l + 1)} {r}} u (r),}$

nebo

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} u} {dr ^ {2}}} + doleva (V (r) + { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {l (l + 1)} {r ^ {2}}} right) u (r) = Eu (r),}$

což je ekvivalent jednorozměrné Schrödingerovy rovnice, ale s upraveným efektivním potenciálem

${ displaystyle V _ { text {eff}} (r) = V (r) + { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {l (l + 1)} {r ^ { 2}}} = V (r) + { frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}, quad L ^ {2} = l (l + 1) hbar ^ {2}. }$

Tuto rovnici můžeme vyřešit stejným způsobem, jako bychom vyřešili jednorozměrnou Schrödingerovu rovnici. Můžeme rovnici přepsat trochu jinak, a tak vidíme jasněji možnou aplikaci Numerovovy metody:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} u} {dr ^ {2}}} = - { frac {2m} { hbar ^ {2}}} (E-V _ { text {eff}} (r)) u (r),}$

${ displaystyle g (r) = { frac {2m} { hbar ^ {2}}} (E-V _ { text {eff}} (r)),}$

${ displaystyle s (r) = 0.}$

Derivace

Dostaneme diferenciální rovnici

${ displaystyle y '' (x) = - g (x) y (x) + s (x).}$

Abychom odvodili Numerovovu metodu řešení této rovnice, začneme s Taylorova expanze funkce, kterou chceme vyřešit, ${ displaystyle y (x)}$, kolem bodu ${ displaystyle x_ {0}}$:

${ displaystyle y (x) = y (x_ {0}) + (x-x_ {0}) y '(x_ {0}) + { frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {2!}} Y '' (x_ {0}) + { frac {(x-x_ {0}) ^ {3}} {3!}} Y '' '(x_ {0}) + { frac {(x-x_ {0}) ^ {4}} {4!}} y '' '' (x_ {0}) + { frac {(x-x_ {0}) ^ {5}} { 5!}} Y '' '' (x_ {0}) + { mathcal {O}} (h ^ {6}).}$

Označení vzdálenosti od ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle x_ {0}}$ podle ${ displaystyle h = x-x_ {0}}$, můžeme napsat výše uvedenou rovnici jako

${ displaystyle y (x_ {0} + h) = y (x_ {0}) + hy '(x_ {0}) + { frac {h ^ {2}} {2!}} y' '(x_ {0}) + { frac {h ^ {3}} {3!}} Y '' '(x_ {0}) + { frac {h ^ {4}} {4!}} Y' '' '(x_ {0}) + { frac {h ^ {5}} {5!}} y' '' '(x_ {0}) + { mathcal {O}} (h ^ {6}) .}$

Pokud rovnoměrně diskretizujeme prostor, dostaneme mřížku ${ displaystyle x}$ body, kde ${ displaystyle h = x_ {n + 1} -x_ {n}}$. Aplikováním výše uvedených rovnic na tento diskrétní prostor získáme vztah mezi ${ displaystyle y_ {n}}$ a ${ displaystyle y_ {n + 1}}$:

${ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hy '(x_ {n}) + { frac {h ^ {2}} {2!}} y' '(x_ {n}) + { frac {h ^ {3}} {3!}} y '' '(x_ {n}) + { frac {h ^ {4}} {4!}} y' '' (x_ {n} ) + { frac {h ^ {5}} {5!}} y '' '' (x_ {n}) + { mathcal {O}} (h ^ {6}).}$

Výpočetně to znamená udělat krok vpřed o částku ${ displaystyle h}$. Pokud chceme udělat krok zpět, vyměníme všechny ${ displaystyle h}$ s ${ displaystyle -h}$ a získejte výraz pro ${ displaystyle y_ {n-1}}$:

${ displaystyle y_ {n-1} = y_ {n} -hy '(x_ {n}) + { frac {h ^ {2}} {2!}} y' '(x_ {n}) - { frac {h ^ {3}} {3!}} y '' '(x_ {n}) + { frac {h ^ {4}} {4!}} y' '' (x_ {n} ) - { frac {h ^ {5}} {5!}} y '' '' (x_ {n}) + { mathcal {O}} (h ^ {6}).}$

Všimněte si, že pouze liché síly ${ displaystyle h}$ došlo ke změně znaménka. Sečtením těchto dvou rovnic to odvodíme

${ displaystyle y_ {n + 1} -2r_ {n} + y_ {n-1} = h ^ {2} y '' _ {n} + { frac {h ^ {4}} {12}} y '' '_ {n} + { mathcal {O}} (h ^ {6}).}$

Tuto rovnici můžeme vyřešit pro ${ displaystyle y_ {n + 1}}$ dosazením výrazu uvedeného na začátku, tj ${ displaystyle y '' _ {n} = - g_ {n} y_ {n} + s_ {n}}$. Chcete-li získat výraz pro ${ displaystyle y '' '_ {n}}$ faktor, prostě musíme rozlišovat ${ displaystyle y '' _ {n} = - g_ {n} y_ {n} + s_ {n}}$ dvakrát a znovu jej přiblížit stejným způsobem, jako jsme to udělali výše:

${ displaystyle y '' '' _ {n} = { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} (- g_ {n} y_ {n} + s_ {n}),}$

${ displaystyle h ^ {2} y '' '_ {n} = - g_ {n + 1} y_ {n + 1} + s_ {n + 1} + 2g_ {n} y_ {n} -2s_ { n} -g_ {n-1} y_ {n-1} + s_ {n-1} + { mathcal {O}} (h ^ {4}).}$

Pokud to dosadíme do předchozí rovnice, dostaneme

${ displaystyle y_ {n + 1} -2r_ {n} + y_ {n-1} = {h ^ {2}} (- g_ {n} y_ {n} + s_ {n}) + { frac { h ^ {2}} {12}} (- g_ {n + 1} y_ {n + 1} + s_ {n + 1} + 2g_ {n} y_ {n} -2s_ {n} -g_ {n- 1} y_ {n-1} + s_ {n-1}) + { mathcal {O}} (h ^ {6}),}$

nebo

${ displaystyle y_ {n + 1} left (1 + { frac {h ^ {2}} {12}} g_ {n + 1} right) -2y_ {n} left (1 - { frac {5h ^ {2}} {12}} g_ {n} vpravo) + y_ {n-1} vlevo (1 + { frac {h ^ {2}} {12}} g_ {n-1} right) = { frac {h ^ {2}} {12}} (s_ {n + 1} + 10s_ {n} + s_ {n-1}) + { mathcal {O}} (h ^ { 6}).}$

Tím se získá Numerovova metoda, pokud ignorujeme termín objednávky ${ displaystyle h ^ {6}}$. Z toho vyplývá, že pořadí konvergence (za předpokladu stability) je 4.

Reference

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: Nonstiffovy problémy, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56670-0.
  Tato kniha obsahuje následující odkazy:
• Numerov, Boris Vasil'evich (1924), „Metoda extrapolace poruch“, Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti, 84: 592–601, Bibcode:1924MNRAS..84..592N, doi:10,1093 / mnras / 84,8,592.
• Numerov, Boris Vasil'evich (1927), „Poznámka k numerické integraci d²X/ dt² = F(X,t)", Astronomische Nachrichten, 230: 359–364, Bibcode:1927AN .... 230..359N, doi:10.1002 / asna.19272301903.

externí odkazy