Nestandardní schéma konečných rozdílů - Nonstandard finite difference scheme

Nestandardní schémata konečných rozdílů je obecná sada metod v numerická analýza která poskytuje numerická řešení pro diferenciální rovnice konstrukcí diskrétního modelu. Obecná pravidla pro tyto režimy nejsou přesně známa.^[1]^[2]

Přehled

Model konečné diference (FD) diferenciální rovnice (DE) lze vytvořit jednoduchým nahrazením derivací aproximacemi FD. Ale toto je naivní „překlad“. Pokud doslova překládáme z angličtiny do japonštiny vytvářením individuální korespondence mezi slovy, původní význam se často ztrácí. Podobně se naivní FD model DE může velmi lišit od původního DE, protože FD model je diferenční rovnice s řešeními, která se mohou zcela lišit od řešení DE. Pro více technickou definici viz Mickens 2000.^[1]

Nestandardní (NS) model konečné diference je volný a přesnější „překlad“ diferenciální rovnice. Například parametr (zavolejte jej proti) v DE může mít jinou hodnotu u v modelu NS-FD.

Příklad

Jako příklad si vytvořme model vlnové rovnice,

{displaystyle (částečné _ {t} ^ {2} -v ^ {2} částečné _ {x} ^ {2}) Psi (x, t) = 0.}

Naivní konečný diferenční model, který nyní nazýváme standardní (S) FD model, se nachází aproximací derivací s FD aproximacemi. Centrální aproximace FD druhého řádu první derivace je

{displaystyle f '(x) cca {frac {f (x + Delta x / 2) -f (x-Delta x / 2)} {Delta x}}.}

Aplikování výše uvedené FD aproximace na ${displaystyle f '(x)}$ , můžeme odvodit FD aproximaci pro ${displaystyle f '' (x)}$ ,

{displaystyle f '' (x) přibližně {frac {{ext {d}} _ {x} ^ {2} f (x)} {Delta x ^ {2}}},}

kde jsme představili zkratku ${displaystyle {ext {d}} _ {x} f (x) = f (x + delta x / 2) -f (x-delta x / 2)}$ pro jednoduchost takovou ${displaystyle {ext {d}} _ {x} {} ^ {2} f (x) = f (x + delta x) + f (x-delta x) -2f (x)}$ které lze zkontrolovat pomocí ${displaystyle {ext {d}} _ {x}}$ na ${displaystyle f (x)}$ dvakrát. Aproximace obou derivátů ve vlnové rovnici vede k modelu S-FD,

{displaystyle left [{ext {d}} _ {t} ^ {2} - (vDelta t / Delta x) ^ {2} {ext {d}} _ {x} ^ {2} ight] Psi (x, t) = 0.}

Pokud vložíte řešení ${displaystyle phi (x, t) = e ^ {i (kx-omega t)}}$ vlnové rovnice (s ${displaystyle omega / k = v}$ ) do modelu S-FD to najdete

{displaystyle left [{ext {d}} _ {t} ^ {2} - (vDelta t / Delta x) ^ {2} {ext {d}} _ {x} ^ {2} ight] phi (x, t) = epsilon.}

Obecně ${displaystyle epsilon eq 0}$ protože řešení FD aproximace vlnové rovnice není stejné jako samotné vlnové rovnice.

Chcete-li postavit model NS-FD, který má stejné řešení jako vlnová rovnice, vložte volný parametr, zavolejte jej u, namísto ${displaystyle vDelta t / Delta x}$ a zkuste najít hodnotu u který dělá ${displaystyle epsilon = 0}$ Ukazuje se, že tato hodnota u je

{displaystyle u = {frac {sin (omega Delta t / 2)} {sin (kDelta x / 2)}}.}

Přesný nestandardní model konečné diference vlnové rovnice tedy je

{displaystyle left [{ext {d}} _ {t} ^ {2} - (uDelta t / Delta x) ^ {2} {ext {d}} _ {x} ^ {2} ight] Psi (x, t) = 0.}

Další podrobnosti a rozšíření na dvě a tři dimenze, jakož i Maxwellovy rovnice lze najít v Cole 2002.^[2]

Reference

^ ^A ^b Mickens, R.E. (2000). Aplikace nestandardních konečných rozdílových schémat. World Scientific.
^ ^A ^b JB Cole, algoritmus Yee s vysokou přesností založený na nestandardních konečných rozdílech: nový vývoj a ověření, IEEE Trans. o anténách a šíření, roč. 50, č. 9, str. 1185-1191 (2002)

[Mickens2000-1] A ^b Mickens, R.E. (2000). Aplikace nestandardních konečných rozdílových schémat. World Scientific.

[Cole2002-2] A ^b JB Cole, algoritmus Yee s vysokou přesností založený na nestandardních konečných rozdílech: nový vývoj a ověření, IEEE Trans. o anténách a šíření, roč. 50, č. 9, str. 1185-1191 (2002)

[1]

[2]