Funkce Nevanlinna - Nevanlinna function

v matematika, v oblasti komplexní analýza, a Funkce Nevanlinna je komplexní funkce což je analytická funkce na otevřeném prostranství horní polorovina H a má nezáporné hodnoty imaginární část. Funkce Nevanlinna mapuje horní polorovinu k sobě nebo ke skutečné konstantě,^[1] ale je ne nutně injekční nebo surjektivní. Funkce s touto vlastností jsou někdy také známé jako Herglotz, Výběr nebo R funkce.

Integrální zastoupení

Každá funkce Nevanlinny N připouští zastoupení

${ displaystyle N (z) = C + Dz + int _ { mathbb {R}} doleva ({ frac {1} { lambda -z}} - { frac { lambda} {1+ lambda ^ {2}}} vpravo) d mu ( lambda), quad z in mathbb {H},}$

kde C je skutečná konstanta, D je nezáporná konstanta a μ je a Borelův rozměr na R uspokojení růstové podmínky

${ displaystyle int _ { mathbb {R}} { frac {d mu ( lambda)} {1+ lambda ^ {2}}} < infty.}$

Naopak každá funkce této formy se ukáže jako funkce Nevanlinna. Konstanty v této reprezentaci souvisí s funkcí N přes

${ displaystyle C = mathrm {Re} (N (i)) qquad { text {a}} qquad D = lim _ {y rightarrow infty} { frac {N (iy)} {iy }}}$

a Borelův rozměr μ lze získat z N zaměstnáním Stieltjesův inverzní vzorec (související s inverzním vzorcem pro Stieltjesova transformace ):

${ displaystyle mu (( lambda _ {1}, lambda _ {2}]) = lim _ { delta rightarrow 0} lim _ { varepsilon rightarrow 0} { frac {1} { pi}} int _ { lambda _ {1} + delta} ^ { lambda _ {2} + delta} mathrm {Im} (N ( lambda + i varepsilon)) d lambda. }$

Velmi podobné znázornění funkcí se také nazývá Poissonova reprezentace.^[2]

Příklady

• Následuje několik základních příkladů funkcí Nevanlinny (s vhodně zvolenými řezy větví v prvních třech). (${ displaystyle z}$ lze nahradit ${ displaystyle z-a}$ pro nějaké skutečné číslo ${ displaystyle a.}$)

${ displaystyle z ^ {p} { text {with}} 0 leq p leq 1}$

${ displaystyle -z ^ {p} { text {with}} - 1 leq p leq 0}$

Tyto jsou injekční ale když str nerovná se 1 nebo -1 nejsou surjektivní a lze je do určité míry otáčet kolem původu, jako je ${ displaystyle i (z / i) ^ {p} { text {with}} - 1 leq p leq 1.}$

List z ${ displaystyle ln (z)}$ jako je ten s ${ displaystyle f (1) = 0.}$

${ displaystyle tan (z)}$ (příklad surjektivní, ale nikoli injektivní)

• A Möbiova transformace

${ displaystyle z mapsto { frac {az + b} {cz + d}}}$

je funkce Nevanlinna, pokud (ale nejen pokud) ${ displaystyle a ^ { ast} d-bc ^ { ast}}$ je kladné reálné číslo a ${ displaystyle mathrm {Im} (b ^ { ast} d) = mathrm {Im} (a ^ { ast} c) = 0.}$ To je ekvivalent k sadě takových transformací, které mapují skutečnou osu k sobě samému. Jeden pak může přidat libovolnou konstantu v horní polorovině a přesunout pól do dolní poloroviny, čímž získá nové hodnoty parametrů. Příklad: ${ displaystyle { frac {iz + i-2} {z + 1 + i}}}$

• ${ displaystyle 1 + i + z}$ a ${ displaystyle i + e ^ {iz}}$ jsou příklady, které jsou celé funkce. Druhé není ani injektivní, ani surjektivní.
• Li S je operátor s vlastním nastavením v Hilbertův prostor af je libovolný vektor, pak funkce

${ displaystyle langle (S-z) ^ {- 1} f, f rangle}$

je funkce Nevanlinna.

• Li M(z) a N(z) jsou funkce Nevanlinna, pak složení M(N(z)) je také funkce Nevanlinna.

Reference

• Vadim Adamyan, vyd. (2009). Moderní analýzy a aplikace. str. 27. ISBN  3-7643-9918-X.
• Naum Ilyich Akhiezer a I. M. Glazman (1993). Teorie lineárních operátorů v Hilbertově prostoru. ISBN  0-486-67748-6.
• Marvin Rosenblum a James Rovnyak (1994). Témata v Hardy Classes a Univalent Functions. ISBN  3-7643-5111-X.