Funkce navigace - Navigation function

Funkce navigace obvykle se odkazuje na funkci polohy, rychlosti, zrychlení a času, která se používá k plánování trajektorií robota prostředím. Obecně je cílem navigační funkce vytvořit proveditelné a bezpečné cesty, které se budou vyhýbat překážkám, a zároveň umožní robotovi přejít z počáteční konfigurace do konfigurace cíle.

Potenciální funkce jako navigační funkce

Potenciální funkce. Představte si, že na povrch upustíte mramor. Vyhne se třem překážkám a nakonec dosáhne cílové pozice ve středu.

Potenciální funkce předpokládají, že prostředí nebo pracovní prostor je znám. Překážkám je přiřazena vysoká hodnota potenciálu a cílové pozici je přiřazen nízký potenciál. K dosažení cílové pozice musí robot pouze sledovat negativ spád povrchu.

Můžeme tento koncept matematicky formalizovat takto: Let ${displaystyle X}$ být stavovým prostorem všech možných konfigurací robota. Nechat ${displaystyle X_ {g} podmnožina X}$ označují cílovou oblast stavového prostoru.

Pak potenciální funkce ${displaystyle phi (x)}$ se nazývá (proveditelná) navigační funkce, pokud ^[1]

1. ${displaystyle phi (x) = 0 for all xin X_ {g}}$
2. ${displaystyle phi (x) = infty}$ jen a jen pokud nemá smysl ${displaystyle {X_ {g}}}$ je dosažitelný z ${displaystyle x}$.
3. Pro každý dosažitelný stav ${displaystyle xin Xsetminus {X_ {g}}}$, místní operátor vytvoří stav ${displaystyle x '}$ pro který ${displaystyle phi (x ')$.

Pravděpodobnostní navigační funkce

Pravděpodobnostní navigační funkce je rozšířením klasické navigační funkce pro statické stochastické scénáře. Funkce je definována povolenou pravděpodobností kolize, která omezuje riziko během pohybu. Minkowského součet použitý v klasické definici je nahrazen konvolucí geometrií a funkcí hustoty pravděpodobnosti míst. Označení cílové polohy pomocí ${displaystyle x_ {d}}$, pravděpodobnostní navigační funkce je definována jako^[2]:${displaystyle {varphi} (x) = {frac {gamma _ {d} (x)} {{left [{gamma _ {d} ^ {K} (x) + eta left (xight)} ight]} ^ { frac {1} {K}}}}}$kde ${displaystyle K}$ je předdefinovaná konstanta jako v klasické navigační funkci, která zajišťuje morseovský charakter funkce. ${displaystyle gamma _ {d} (x)}$ je vzdálenost k cílové poloze ${displaystyle {|| x- {x_ {d}} | {| ^ {2}}}}$, a ${displaystyle eta left (xight)}$ bere v úvahu všechny překážky definované jako ${displaystyle eta left (xight) = prod limits _ {i = 0} ^ {N_ {o}} {{eta _ {i}} left (xight)}}$kde ${displaystyle eta _ {i} (x)}$ je založeno na pravděpodobnosti kolize v místě ${displaystyle x}$. Pravděpodobnost kolize je omezena předem stanovenou hodnotou ${displaystyle Delta}$, význam:${displaystyle eta _ {i} (x) = Delta -p ^ {i} vlevo (xight)}$a,${displaystyle eta _ {0} (x) = - Delta + p ^ {0} vlevo (xight)}$

kde ${displaystyle p ^ {i} (x)}$ je pravděpodobnost srážky s i-tou překážkou. Mapa ${displaystyle varphi}$ je považována za pravděpodobnostní navigační funkci, pokud splňuje následující podmínky:

1. Jedná se o navigační funkci.
2. Pravděpodobnost kolize je omezena předdefinovanou pravděpodobností ${displaystyle Delta}$.

Funkce navigace v optimálním řízení

Zatímco pro určité aplikace stačí mít proveditelnou navigační funkci, v mnoha případech je žádoucí mít optimální navigační funkci s ohledem na danou nákladově funkční ${displaystyle J}$. Formalizován jako optimální ovládání problém, můžeme psát

${displaystyle {ext {minimal}} J (x_ {1: T}, u_ {1: T}) = int limity _ {T} L (x_ {t}, u_ {t}, t) dt}$

${displaystyle {ext {subject to}} {dot {x_ {t}}} = f (x_ {t}, u_ {t})}$

čímž ${displaystyle x}$ je stát, ${displaystyle u}$ je ovládací prvek, který se má použít, ${displaystyle L}$ je cena v určitém stavu ${displaystyle x}$ použijeme-li kontrolu ${displaystyle u}$, a ${displaystyle f}$ modeluje dynamiku přechodu systému.

Přihlašování Bellmanův princip optimality optimální funkce nákladů je definována jako

${displaystyle displaystyle phi (x_ {t}) = min _ {u_ {t} v U (x_ {t})} {velký {} L (x_ {t}, u_ {t}) + phi (f (x_ { t}, u_ {t})) {Big}}}$

Spolu s výše definovanými axiomy můžeme definovat optimální navigační funkci jako

1. ${displaystyle phi (x) = 0 for all xin X_ {g}}$
2. ${displaystyle phi (x) = infty}$ jen a jen pokud nemá smysl ${displaystyle {X_ {G}}}$ je dosažitelný z ${displaystyle x}$.
3. Pro každý dosažitelný stav ${displaystyle xin Xsetminus {X_ {G}}}$, místní operátor vytvoří stav ${displaystyle x '}$ pro který ${displaystyle phi (x ')$.
4. ${displaystyle displaystyle phi (x_ {t}) = min _ {u_ {t} v U (x_ {t})} {velký {} L (x_ {t}, u_ {t}) + phi (f (x_ { t}, u_ {t})) {Big}}}$

Stochastická navigační funkce

Předpokládáme-li dynamiku přechodu systému nebo nákladovou funkci vystavenou hluku, získáme a stochastická optimální kontrola problém s cenou ${displaystyle J (x_ {t}, u_ {t})}$ a dynamika ${displaystyle f}$. V oblasti posilování učení cena je nahrazena funkcí odměny ${displaystyle R (x_ {t}, u_ {t})}$ a dynamika pravděpodobností přechodu ${displaystyle P (x_ {t + 1} | x_ {t}, u_ {t})}$.

Viz také

• Teorie řízení
• Optimální ovládání
• Ovládání robota
• Plánování pohybu
• Posílení učení

Reference

Zdroje

• LaValle, Steven M. (2006), Algoritmy plánování (První vydání), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-86205-9
• Laumond, Jean-Paul (1998), Robotické plánování a řízení pohybu (První vydání), Springer, ISBN  3-540-76219-1

externí odkazy

• NFsim: MATLAB Toolbox pro plánování pohybu pomocí navigačních funkcí.