Murraysův zákon - Murrays law - Wikipedia

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Dubna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Murrayův zákon předpovídá tloušťku poboček v dopravních sítích tak, aby byly minimalizovány náklady na dopravu a údržbu transportního média. Tento zákon je dodržován v cévní a respirační systémy zvířat, xylem v rostlinách a v dýchacím systému hmyzu.^[1][2][3][4] Jeho nejjednodušší verze uvádí, že pokud pobočka poloměr ${ displaystyle r}$ rozděluje se na dvě větve poloměrů ${ displaystyle r_ {1}}$ a ${ displaystyle r_ {2}}$, pak ${ displaystyle r ^ {3} = r_ {1} ^ {3} + r_ {2} ^ {3}}$. Jako Hagen – Poiseuilleova rovnice a Fickovy zákony, které byly rovněž formulovány z biologického kontextu, je Murrayův zákon základním fyzikálním principem pro přenosové sítě.^[2][4]

Murrayův zákon je také mocný biomimetika návrhový nástroj ve strojírenství. Bylo použito při návrhu samoléčebné materiály, baterie, fotokatalyzátory, a senzory plynu.^{[Citace je zapotřebí ]} Od svého objevu však byla věnována malá pozornost využití tohoto zákona pro navrhování pokročilých materiálů, reaktorů a průmyslových procesů pro maximalizaci přenosu hmoty nebo energie ke zlepšení výkonu materiálu a efektivity procesu.^[3]

Původní verze Murrayova zákona platí pouze pro masově konzervativní transport v síti. Existují zobecnění pro nekonzervativní sítě, které popisují účinky, jako jsou chemické reakce a difúze stěnami.^[1]

Murrayův zákon v masově konzervativních sítích

Murrayova původní analýza^[5][6] je založen na předpokladu, že poloměry uvnitř a lumen -založené systémy jsou takové, že the práce pro přepravu a údržbu je minimalizována. Větší cévy snižují vynaloženou energii na transport, ale zvyšují celkový objem krve v systému; krev je živá tekutina, a proto vyžaduje metabolickou podporu. Murrayův zákon je tedy optimalizačním cvičením k vyvážení těchto faktorů.

Pro ${ displaystyle n}$ dětské pobočky oddělené od společné mateřské pobočky, zákon stanoví, že:

${ displaystyle r ^ {3} = r_ {1} ^ {3} + r_ {2} ^ {3} + r_ {3} ^ {3} + ... + r_ {n} ^ {3}}$

kde ${ displaystyle r}$ je poloměr nadřazené větve a ${ displaystyle r_ {1}, ldots, r_ {n}}$ jsou poloměry podřízených větví. Tento zákon platí pouze pro laminární proudění, protože jeho odvození používá Hagen – Poiseuilleova rovnice jako opatření pro dopravní práce (viz níže). Williams a kol. odvodil vzorec pro turbulentní proudění:^[3]

${ displaystyle r ^ {(7/3)} = r_ {1} ^ {(7/3)} + r_ {2} ^ {(7/3)} + r_ {3} ^ {(7/3) } + ... + r_ {n} ^ {(7/3)}}$

Derivace

Jak je uvedeno výše, základním předpokladem Murrayova zákona je, že Napájení (energie za čas ) pro dopravu a údržbu je v přirozeném dopravním systému minimální. Proto se snažíme minimalizovat ${ displaystyle P = P_ {t} + P_ {m}}$, kde ${ displaystyle P_ {t}}$ je výkon potřebný pro přepravu a ${ displaystyle P_ {m}}$ výkon potřebný k udržení transportního média (např. krve).

Laminární proudění

Nejprve minimalizujeme přepravní sílu a údržbu v jediném kanálu systému, tj. Ignorujeme bifurkace. Spolu s předpokladem hromadné ochrany to přinese zákon. Nechat ${ displaystyle Q}$ být laminární průtok v tomto kanálu, o kterém se předpokládá, že je opraven. Síla pro transport v laminárním toku je ${ displaystyle P_ {t} = Q Delta p}$, kde ${ displaystyle Delta p}$ je tlakový rozdíl mezi vstupem a výstupem trubice o poloměru ${ displaystyle r}$ a délka ${ displaystyle l}$. The Hagen – Poiseuilleova rovnice pro laminární proudění to říká ${ textstyle Q = { frac { pi , r ^ {4}} {8 , mu , l}} Delta p}$ a tudíž ${ textstyle Delta p = { frac {8 , mu , l} { pi , r ^ {4}}} Q}$ , kde ${ displaystyle mu}$ je dynamická viskozita tekutiny. Dosazením do rovnice pro ${ displaystyle P_ {t}}$, dostaneme

Dále předpokládáme, že výkon potřebný pro údržbu je úměrný objem válce ${ displaystyle V = pi , l , r ^ {2}}$ :kde ${ displaystyle lambda> 0}$ je konstantní číslo (metabolický faktor). To přinášíProtože hledáme poloměr s minimálním výkonem, vypočítáme stacionární bod s ohledem na r S tímto vztahem mezi průtokem ${ displaystyle Q}$ a poloměr ${ displaystyle r}$ na libovolném kanálu se vrátíme k rozdvojení: Protože je hmotnost zachována, je rychlost toku rodičovské větve ${ displaystyle Q}$ je součet průtoků v dětských větvích ${ displaystyle Q_ {1}, ldots, Q_ {n}}$. Vzhledem k tomu, že v každé z těchto větví je síla minimalizována, výše uvedený vztah platí, a proto, jak je uvedeno:

Difúze

Síla pro dopravu vynaložená difúzí je dána vztahem

${ displaystyle P_ {t} = Q , Delta C = vlevo ( pi , D , r ^ {2} { frac { Delta C} {l}} vpravo) Delta C}$

kde průtok je dán Fickovým zákonem, jehož ${ displaystyle D}$ je konstanta difuzivity a ${ displaystyle Delta C}$ je rozdíl koncentrace mezi konci válce. Podobně jako v případě laminárního proudění vede minimalizace objektivní funkce k

${ displaystyle { frac { Delta C} {l}} = { sqrt { frac { lambda} {D}}} Rightarrow Q = pi , D , r ^ {2} { sqrt { frac { lambda} {D}}} Leftrightarrow Q = k , r ^ {2}}$

Proto,

${ displaystyle Q_ {p} = součet _ {i = 1} ^ {N} Q_ {i} Rightarrow k , r_ {p} ^ {2} = součet _ {i = 1} ^ {N} k , r_ {i} ^ {2} Leftrightarrow r_ {p} ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {i} ^ {2}}$

Zobecněný Murrayův zákon

Speciální Murrayův zákon je však použitelný pouze pro procesy toku, které neobsahují žádné hromadné variace. Je třeba učinit významné teoretické pokroky pro širší uplatnění v oblastech chemie, aplikovaných materiálů a průmyslových reakcí.

Zobecněný Murrayův zákon odvozeno Zhengem a kol. může být použitelný pro optimalizaci přenosu hmoty zahrnující variace hmoty a chemické reakce zahrnující procesy proudění, difúzi molekul nebo iontů atd.^[1]

Pro připojení nadřazené trubky o poloměru r₀ mnoha dětským trubkám o poloměru r_i , vzorec zobecněného Murrayova zákona je: ${ displaystyle r_ {0} ^ {a} = {1 nad 1-X} součet _ {i = 1} ^ {N} r_ {i} ^ {a}}$, Kde X je poměr variace hmoty během přenosu hmoty v mateřském póru, exponent α závisí na typu převodu. Pro laminární proudění α = 3; pro turbulentní proudění α = 7/3; pro molekulární nebo iontovou difúzi α = 2; atd.

Je použitelný pro obrovskou škálu porézních materiálů a má široký rozsah funkční keramiky a nano-kovů pro energetické a environmentální aplikace.

Murray materiály

Zobecněný Murrayův zákon definuje základní geometrické rysy pro porézní materiály s optimálními vlastnostmi přenosu. Zobecněný Murrayův zákon lze použít k návrhu a optimalizaci struktur obrovské škály porézních materiálů. Tento koncept vedl k materiálům, nazývaným Murray materiály, jehož velikosti pórů jsou vícenásobné a jsou navrženy s poměry průměrů, které se řídí obecným Murrayovým zákonem.^[1]

Jako lithiové bateriové elektrody mohou materiály Murray snižovat napětí v těchto elektrodách během procesu nabíjení / vybíjení, zlepšovat jejich strukturální stabilitu a vést k delší životnosti zařízení pro skladování energie.^[7] Tento materiál by mohl být také použit pro zvýšení výkonu plynového senzoru a fotokatalýzy, která rozložila barvivo pomocí světla.^[8]

Aby se dosáhlo přenosu látek nebo energie s extrémně vysokou účinností, evoluce přirozeným výběrem obdařila mnoho tříd organismů materiály Murray, ve kterých se velikosti pórů pravidelně zmenšují ve více měřítcích a nakonec končí v jednotkách invariantních k velikosti. Například v stonky rostlin a listové žíly, součet poloměrů krychlových zůstává konstantní v každém bodě větvení, aby se maximalizovala vodivost toku, která je úměrná rychlosti fotosyntézy. Pro hmyz spoléhání se na difúzi plynu pro dýchání, součet poloměrů čtverců tracheálních pórů zůstává konstantní podél difuzní dráhy, aby se maximalizovala difúze plynů. Zavedení koncepce materiálu Murray do průmyslových reakcí může od rostlin, zvířat a materiálů po průmyslové procesy způsobit revoluci v konstrukci reaktorů s vysoce vylepšenou účinností, minimální energií, časem a spotřebou surovin pro udržitelnou budoucnost.^[9]

Reference