Průřez přenosu hybnosti - Momentum-transfer cross section

v fyzika a zejména teorie rozptylu, průřez hybnosti (někdy známý jako hybnost-doprava průřez^[1]) je efektivní rozptyl průřez užitečné pro popis průměru hybnost přenesena z částice, když se srazí s cílem. V podstatě obsahuje všechny informace o procesu rozptylu nezbytného pro výpočet průměrných přenosů hybnosti, ale ignoruje další podrobnosti o úhlu rozptylu.

Průřez přenosu hybnosti ${ displaystyle sigma _ { mathrm {tr}}}$ je definován z hlediska (azimutálně symetrické a hybnosti nezávislé) diferenciální průřez ${ displaystyle { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta)}$ podle

${ displaystyle sigma _ { mathrm {tr}} = int (1- cos theta) { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$

${ displaystyle = int int (1- cos theta) { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) sin theta mathrm {d } theta mathrm {d} phi}$.

Průřez přenosu hybnosti lze zapsat z hlediska fázových posunů z a parciální analýza vln tak jako ^[2]

${ displaystyle sigma _ { mathrm {tr}} = { frac {4 pi} {k ^ {2}}} součet _ {l = 0} ^ { infty} (l + 1) sin ^ {2} [ delta _ {l + 1} (k) - delta _ {l} (k)].}$

Vysvětlení

Faktor ${ displaystyle 1- cos theta}$ vzniká následovně. Nechte přicházející částice cestovat podél ${ displaystyle z}$-os s vektorovou hybností

${ displaystyle { vec {p}} _ { mathrm {in}} = q { hat {z}}}$.

Předpokládejme, že částice se rozptýlí z cíle s polárním úhlem ${ displaystyle theta}$ a azimutální úhel ${ displaystyle phi}$ letadlo. Jeho nová hybnost je

${ displaystyle { vec {p}} _ { mathrm {out}} = q ' cos theta { hat {z}} + q' sin theta cos phi { hat {x}} + q ' sin theta sin phi { hat {y}}}$.

Pro kolizi s mnohem těžším cílem než dopadající částice (např. Elektron dopadající na atom nebo iont), ${ displaystyle q ' backsimeq q}$ tak

${ displaystyle { vec {p}} _ { mathrm {out}} simeq q cos theta { hat {z}} + q sin theta cos phi { hat {x}} + q sin theta sin phi { hat {y}}}$

Zachováním hybnosti získal cíl hybnost

${ displaystyle Delta { vec {p}} = { vec {p}} _ { mathrm {in}} - { vec {p}} _ { mathrm {out}} = q (1- cos theta) { hat {z}} - q sin theta cos phi { hat {x}} - q sin theta sin phi { hat {y}}}$.

Nyní, pokud mnoho částic rozptýlí cíl a předpokládá se, že cíl má azimutální symetrii, pak radiální (${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$) složky přenesené hybnosti budou průměrovat na nulu. Průměrný přenos hybnosti bude spravedlivý ${ displaystyle q (1- cos theta) { hat {z}}}$. Pokud provedeme úplné průměrování všech možných rozptylových událostí, dostaneme

${ displaystyle Delta { vec {p}} _ { mathrm {avg}} = langle Delta { vec {p}} rangle _ { Omega}}$.

${ displaystyle = sigma _ { mathrm {tot}} ^ {- 1} int Delta { vec {p}} ( theta, phi) { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$.

${ displaystyle = sigma _ { mathrm {tot}} ^ {- 1} int left [q (1- cos theta) { hat {z}} - q sin theta cos phi { hat {x}} - q sin theta sin phi { hat {y}} right] { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$

${ displaystyle = q { hat {z}} sigma _ { mathrm {tot}} ^ {- 1} int (1- cos theta) { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$

${ displaystyle = q { hat {z}} sigma _ { mathrm {tr}} / sigma _ { mathrm {tot}}}$

kde je celkový průřez

${ displaystyle sigma _ { mathrm {tot}} = int { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) mathrm {d} Omega}$.

Zde se průměrování provádí pomocí výpočet očekávané hodnoty (vidět ${ displaystyle { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} Omega}} ( theta) / sigma _ { mathrm {tot}}}$ jako funkce hustoty pravděpodobnosti). Proto pro daný celkový průřez není nutné počítat nové integrály pro každou možnou hybnost, aby bylo možné určit průměrnou hybnost přenesenou do cíle. Jeden prostě potřebuje počítat ${ displaystyle sigma _ { mathrm {tr}}}$.

aplikace

Tento koncept se používá při výpočtu poloměr nabíjení jader, jako je proton a deuteron rozptyl elektronů experimenty.

Za tímto účelem je užitečná veličina zvaná rozptylový vektor q mající rozměr inverzní délky definována jako funkce energie E a úhlu rozptylu θ:

${ displaystyle q = { frac {{ frac {2E} { hbar c}} sin ( theta / 2)} {{[1 + { frac {2E} {Mc ^ {2}}} sin ^ {2} ( theta / 2)}] ^ {1/2}}}}$

Reference