Upravená nodální analýza - Modified nodal analysis

v elektrotechnika, modifikovaná nodální analýza^[1] nebo MNA je příponou uzlová analýza který určuje nejen napětí uzlu obvodu (jako v klasické nodální analýze), ale také nějaký větvové proudy. Modifikovaná uzlová analýza byla vyvinuta jako formalismus ke zmírnění obtíží při reprezentaci napěťově definovaných komponent v uzlové analýze (např. Napěťově řízené napěťové zdroje). Je to jeden takový formalismus. Jiné, jako například řídká formulace tabla,^[2] jsou stejně obecné a související prostřednictvím maticových transformací.

Metoda

The MNA používá elementy větvové konstitutivní rovnice nebo BCE, tj. jejich Napětí - proud charakteristika a Kirchhoffovy obvodové zákony. Metoda se často provádí ve čtyřech krocích,^[3] ale může být snížena na tři:

Krok 1

Napsat KCL rovnice obvodu. V každém uzlu elektrický obvod, zapište proudy přicházející do a z uzlu. Buďte však opatrní v MNA Při této metodě se proud nezávislých zdrojů napětí převezme z „plus“ do „mínus“ (viz obrázek 1). Všimněte si také, že pravá strana každé rovnice je vždy rovná nule, takže větvové proudy, které přicházejí do uzlu, jsou označeny záporným znaménkem a ty, které jdou ven, jsou kladně označeny.

Krok 2

Použijte BCE, pokud jde o napětí uzlu obvodu, abyste eliminovali co nejvíce větvových proudů. Zápis BCE z hlediska napětí uzlu uloží jeden krok. Pokud by BCE byly psány z hlediska napětí větví, byl by nutný ještě jeden krok, tj. Nahrazení napětí větví za ty uzlové. V tomto článku se písmeno „e“ používá k pojmenování napětí uzlu, zatímco písmeno „v“ se používá k pojmenování napětí větve.

Krok 3

Nakonec zapište nepoužívané rovnice.

Příklad

Obrázek ukazuje obvod řady RC a tabulka ukazuje BCE lineárního rezistoru a lineárního kondenzátoru. Všimněte si, že v případě rezistoru vstup ${displaystyle G}$ já, ${displaystyle G = 1 / R}$, se používá místo ${displaystyle R}$. Nyní postupujeme, jak je vysvětleno výše.

Obrázek 1: Obvod RC.

Živel	Větvová rovnice
Rezistor	${displaystyle I_ {R} = GV_ {R}}$
Kondenzátor	${displaystyle I_ {C} = C {frac {dV_ {C}} {dt}}}$

Krok 1

V tomto případě existují dva uzly, ${displaystyle e_ {1}}$ a ${displaystyle e_ {2}}$. Také tam jsou tři proudy: ${displaystyle i_ {V_ {s}}}$, ${displaystyle i_ {R}}$ a ${displaystyle i_ {C}}$.

V uzlu e1 výnosy KCL:

${displaystyle i_ {V_ {s}} + i_ {R} = 0}$

a v uzlu e2:

${displaystyle -i_ {R} + i_ {C} = 0}$

Krok 2

S poskytnutými BCE v tabulce a pozorováním, že:

${displaystyle V_ {s} = e_ {1}}$

${displaystyle V_ {R} = e_ {1} -e_ {2}}$

${displaystyle V_ {C} = e_ {2},}$

výsledkem jsou následující rovnice:

${displaystyle G (e_ {1} -e_ {2}) + i_ {V_ {S}} = 0}$

${displaystyle C {frac {de_ {2}} {dt}} + G (e_ {2} -e_ {1}) = 0}$

Krok 3

Všimněte si, že v tomto okamžiku existují dvě rovnice, ale tři neznámé. Chybějící rovnice pochází ze skutečnosti, že

${displaystyle e_ {1} = V_ {s}}$

a nakonec máme tři rovnice a tři neznámé, což vede k řešitelnému lineárnímu systému.

Modifikovaná uzlová analýza a DAE

Pokud vektor ${displaystyle mathbf {x} = {egin {pmatrix} e_ {1} & e_ {2} & i_ {V_ {S}} konec {pmatrix}} ^ {T}}$ je definován, pak lze výše uvedené rovnice dát ve formě${displaystyle Ex '(t) + Axe (t) = f,}$

kde ${displaystyle A = {egin {pmatrix} G & -G & 1 -G & G & 0 1 & 0 & 0end {pmatrix}}}$, ${displaystyle E = {egin {pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & C & 0 0 & 0 & 0end {pmatrix}}}$ a ${displaystyle f = {egin {pmatrix} 0 & 0 & V_ {s} end {pmatrix}} ^ {T}}$.

Toto je lineární diferenciální algebraická rovnice (DAE), od ${displaystyle E}$ je singulární. Lze dokázat, že takový DAE pocházející z Modifikované uzlové analýzy bude mít index diferenciace menší nebo rovné dvěma, pokud se používají pouze pasivní komponenty RLC.^{[4][úplná citace nutná ]} Při použití aktivních komponent, jako např operační zesilovače, index diferenciace může být libovolně vysoký.^[5]

Nehladká analýza

DAE předpokládají hladký charakteristiky pro jednotlivé komponenty; například a dioda lze modelovat / reprezentovat v MNA s DAE prostřednictvím Shockleyova rovnice, ale nelze použít zdánlivě jednodušší (ideálnější) model, kde ostře exponenciální oblasti vedení vpřed a průniku křivky jsou jen přímé svislé čáry. Analýza obvodu (včetně MNA) s posledně uvedeným druhem rovnic je ve skutečnosti více zapojena (než použití DAE) a je tématem nehladké dynamické systémy (NSDS) analýza, která se opírá o teorii diferenciální inkluze.^[6][7]

Reference

externí odkazy

• "Modifikovaná uzlová analýza (popis DC algoritmu v technické dokumentaci Qucs)". Citováno 22. prosince 2012.