Upravená lognormální distribuce zákonů moci - Modified lognormal power-law distribution - Wikipedia

The Modifikovaný zákon o normálním napájení (MLP) function is a three parameter function that can be used to model data that have characteristics of a normální distribuce protokolu a a mocenský zákon chování. Používá se k modelování funkční formy Funkce počáteční hmotnosti (MMF). Na rozdíl od ostatních funkčních forem MMF je MLP jedinou funkcí bez podmínek spojení.

Funkční forma distribuce MLP

Uzavřená forma funkce hustoty pravděpodobnosti MLP je následující:

{ displaystyle { begin {aligned} f (m) = { frac { alpha} {2}} exp left ( alpha mu _ {0} + { frac { alpha ^ {2} sigma _ {0} ^ {2}} {2}} vpravo) m ^ {- (1+ alpha)} { text {erfc}} left ({ frac {1} { sqrt {2} }} left ( alpha sigma _ {0} - { frac { ln (m) - mu _ {0}} { sigma _ {0}}} right) right), m v [0, infty) end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle { begin {zarovnáno} alpha = { frac { delta} { gamma}} konec {zarovnáno}}}$ je asymptotický index mocninového práva distribuce. Tady ${ displaystyle mu _ {0}}$ a ${ displaystyle sigma _ {0} ^ {2}}$ jsou průměr a rozptyl podkladové lognormální distribuce, ze které je odvozena MLP.

Matematické vlastnosti distribuce MLP

Následuje několik matematických vlastností distribuce MLP:

Kumulativní distribuce

MLP kumulativní distribuční funkce ( ${ displaystyle F (m) = int _ {- infty} ^ {m} f (t) , dt}$ ) darováno:

{ displaystyle { begin {aligned} F (m) = { frac {1} {2}} { text {erfc}} left (- { frac { ln (m) - mu _ {0 }} {{ sqrt {2}} sigma _ {0}}} vpravo) - { frac {1} {2}} exp left ( alpha mu _ {0} + { frac { alpha ^ {2} sigma _ {0} ^ {2}} {2}} vpravo) m ^ {- alpha} { text {erfc}} vlevo ({ frac { alpha sigma _ {0}} { sqrt {2}}} left ( alpha sigma _ {0} - { frac { ln (m) - mu _ {0}} {{ sqrt {2}} sigma _ {0}}} doprava) doprava) konec {zarovnáno}}}

Můžeme to vidět jako ${ displaystyle m až 0,}$ že ${ displaystyle textstyle F (m) až { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac { ln (m- mu _ {0})} {{ sqrt {2}} sigma _ {0}}} vpravo),}$ což je kumulativní distribuční funkce pro lognormální distribuci s parametry μ₀ a σ₀.

Zlá, odchylka, hrubé momenty

The očekávaná hodnota z ${ displaystyle M}$ ^k dává ${ displaystyle k}$ ^th surový okamžik z ${ displaystyle M}$ ,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} langle M ^ {k} rangle = int _ {0} ^ { infty} m ^ {k} f (m) mathrm {d} m end {zarovnáno} }}

To existuje tehdy a jen tehdy, když α> ${ displaystyle k}$ , v takovém případě se stane:

{ displaystyle { begin {aligned} langle M ^ {k} rangle = { frac { alpha} { alpha -k}} exp left ({ frac { sigma _ {0} ^ { 2} k ^ {2}} {2}} + mu _ {0} k right), alpha> k end {zarovnáno}}}

který je ${ displaystyle k}$ ^th hrubý moment lognormálního rozdělení s parametry μ₀ a σ₀ zmenšen^α⁄_{α- ${ displaystyle k}$} v limitu α → ∞. To dává průměr a rozptyl distribuce MLP:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} langle M rangle = { frac { alpha} { alpha -1}} exp left ({ frac { sigma _ {0} ^ {2}} { 2}} + mu _ {0} right), alpha> 1 end {zarovnáno}}}

{ displaystyle { begin {aligned} langle M ^ {2} rangle = { frac { alpha} { alpha -2}} exp left (2 left ( sigma _ {0} ^ { 2} + mu _ {0} right) right), alpha> 2 end {zarovnáno}}}

Var ( ${ displaystyle M}$ ) = ⟨ ${ displaystyle M}$ ²⟩-(⟨ ${ displaystyle M}$ ⟩)² = α exp (σ₀² + 2 μ₀) (exp (σ₀²)/α-2 - α/(α-2)²), α> 2

Režim

Řešení rovnice ${ displaystyle f '(m)}$ = 0 (rovnice sklonu k nule v bodě maxim) pro ${ displaystyle m}$ udává režim distribuce MLP.

{ displaystyle f '(m) = 0 Leftrightarrow K operatorname {erfc} (u) = exp (-u ^ {2}),}

kde ${ displaystyle textstyle u = { frac {1} { sqrt {2}}} left ( alpha sigma _ {0} - { frac { ln m- mu _ {0}} { sigma _ {0}}} vpravo)}$ a ${ displaystyle K = sigma _ {0} ( alpha +1) { tfrac { sqrt { pi}} {2}}.}$

K vyřešení této transcendentální rovnice jsou zapotřebí numerické metody. Je však třeba poznamenat, že pokud ${ displaystyle K}$ ≈1 pak u = 0 nám dává režim ${ displaystyle m}$ ^*: