Chybějící čtvercové puzzle - Missing square puzzle

Animace chybějícího čtvercového puzzle zobrazující dvě uspořádání dílků a „chybějící“ čtverec
Oba „celkové trojúhelníky“ jsou v dokonalé mřížce 13 × 5; a obě „složené trojúhelníky“, modrá v mřížce 5 × 2 a červená v mřížce 8 × 3.

The chybějící čtvercové puzzle je optická iluze použito v matematika třídy, které studentům pomohou uvažovat o geometrických útvarech; nebo spíše naučit je nerozmýšlet pomocí obrázků, ale používat pouze textové popisy a axiomy geometrie. Zobrazuje dvě uspořádání vytvořená z podobných tvarů v mírně odlišných konfiguracích. Každý zjevně tvoří 13 × 5 pravoúhlý trojúhelník, ale jeden má v sobě otvor 1 × 1.

Řešení

Co „kouzelnická prezentace“ neukazuje. Úhly hypotenzí nejsou stejné: nejsou podobné trojúhelníky. Je docela triviální dokázat, že trojúhelníky musí být odlišné, aby tato forma skládačky fungovala v rovině.
Rozdělení tenký rovnoběžník oblast (žlutá) na malé části a s nimi vybudování jednoho čtverce.

Klíčem k skládačce je skutečnost, že ani jeden z „trojúhelníků“ 13 × 5 není skutečně trojúhelník, ani by nebyl skutečně 13x5, pokud by byl, protože to, co se jeví jako přepona je ohnutý. Jinými slovy „přepona“ nezachovává konzistentnost sklon, i když se to tak může lidskému oku zdát.

Existují dva odlišné a „falešné přepony“ pro celkový trojúhelník.

Skutečný trojúhelník 13 × 5 nelze z daných součástí vytvořit. Čtyři číslice (žluté, červené, modré a zelené tvary) mají celkem 32 jednotek plochy. Zdánlivé trojúhelníky vytvořené z obrázků jsou 13 jednotek široké a 5 jednotek vysoké, takže se zdá, že oblast by měla být S = 13×5/2 = 32,5 jednotek. Modrý trojúhelník má však poměr 5: 2 (= 2,5), zatímco červený trojúhelník má poměr 8: 3 (≈2,667), takže zdánlivá kombinace přepona na každém obrázku je ve skutečnosti ohnutá. S ohnutou přeponou první postava ve skutečnosti zabírá dohromady 32 jednotek, zatímco druhá postava zabírá 33, včetně "chybějícího" čtverce.

Výše ohybu je přibližně 1/28 jednotka (1,245364267 °), což je na schématu skládačky obtížné vidět, a byla ilustrována jako grafika. Všimněte si bodu mřížky, kde se setkávají červené a modré trojúhelníky ve spodním obrázku (5 čtverců vpravo a dvě jednotky od levého dolního rohu kombinovaného obrázku), a porovnejte jej se stejným bodem na druhém obrázku; okraj je mírně pod značkou na horním obrázku, ale prochází jím na dolním. Překrytí hypotenzí z obou čísel má za následek velmi tenký rovnoběžník (reprezentováno čtyřmi červenými tečkami) s oblastí přesně jednoho čtverce mřížky, tedy „chybějící“ oblast.

Zásada

Podle Martin Gardner,[1] tuto konkrétní hádanku vynalezl a New York City amatérský kouzelník, Paul Curry, v roce 1953. Princip paradoxu pitvy je však známý od počátku 16. století.

Celočíselné rozměry částí skládačky (2, 3, 5, 8, 13) jsou postupné Fibonacciho čísla, což vede k přesné jednotkové ploše v tenký rovnoběžník.Mnoho dalších geometrických pitevní hádanky jsou založeny na několika jednoduchých vlastnostech Fibonacciho posloupnosti.[2]

Podobné hádanky

Sam Loyd paradoxní pitva

Sam Loyd Paradoxní pitva ukazuje dvě přeskupení čtverce 8 × 8. Ve „větším“ přeskupení (obdélník 5 × 13 na obrázku vpravo) mají mezery mezi čísly kombinovaný jednotkový čtverec větší plochu než jejich protějšky se čtvercovými mezerami, což vytváří iluzi, že postavy tam zabírají více místa než ty v původním čtvercovém obrázku.[3] V „menším“ přeskupení (tvar pod obdélníkem 5 × 13) musí každý čtyřúhelník překrývat trojúhelník o plochu půl jednotky, aby se jeho horní / dolní okraj vyrovnal s čárou mřížky, což má za následek celkovou ztrátu v jedné jednotce čtvercová plocha.

„Paradox“ Mitsunobu Matsuyamy používá čtyři shodná čtyřúhelníky a malý čtverec, který tvoří větší čtverec. Když se čtyřúhelníky otočí kolem svých středů, vyplní prostor malého čtverce, i když se celková plocha obrázku zdá nezměněná. Zdánlivý paradox je vysvětlen skutečností, že strana nového velkého náměstí je o něco menší než ta původní. Li θ je úhel mezi dvěma protilehlými stranami v každém čtyřúhelníku, pak poměr dvou oblastí je dán vztahem sek2 θ. Pro θ = 5 °, to je přibližně 1,00765, což odpovídá rozdílu asi 0,8%.

Varianta „paradoxu“ Mitsunobu Matsuyamy

Viz také

Reference

  1. ^ Gardner, Martin (1956). Matematická magie a magie. Doveru. str. 139–150. ISBN  9780486203355.
  2. ^ Weisstein, Eric. „Cassiniho identita“. Matematický svět.
  3. ^ „Paradoxní pitva“. mathblag. 2011-08-28. Citováno 2018-04-19.

externí odkazy