Milner – Rado paradox - Milner–Rado paradox - Wikipedia

v teorie množin, obor matematiky, Milner - Rado paradox, nalezeno Eric Charles Milner a Richard Rado  (1965 ), uvádí, že každý pořadové číslo ${ displaystyle alpha}$ méně než nástupce ${ displaystyle kappa ^ {+}}$ některých základní číslovka ${ displaystyle kappa}$ lze zapsat jako sjednocení množin X₁,X₂, ... kde X_n je z typ objednávky nejvíce κⁿ pro n kladné celé číslo.

Důkaz

Důkaz je transfinitní indukcí. Nechat ${ displaystyle alpha}$ být limitní ordinál (indukce je triviální pro pořadové nástupce) a pro každou ${ displaystyle beta < alpha}$, nechť ${ displaystyle {X_ {n} ^ { beta} } _ {n}}$ být oddílem ${ displaystyle beta}$ splnění požadavků věty.

Opravte rostoucí sekvenci ${ displaystyle { beta _ { gamma} } _ { gamma < mathrm {cf} , ( alpha)}}$ konečný v ${ displaystyle alpha}$ s ${ displaystyle beta _ {0} = 0}$.

Poznámka ${ displaystyle mathrm {cf} , ( alpha) leq kappa}$.

Definovat:

${ displaystyle X_ {0} ^ { alpha} = {0 }; X_ {n + 1} ^ { alpha} = bigcup _ { gamma} X_ {n} ^ { beta _ { gamma +1}} setminus beta _ { gamma}}$

Všimněte si, že:

${ displaystyle bigcup _ {n> 0} X_ {n} ^ { alpha} = bigcup _ {n} bigcup _ { gamma} X_ {n} ^ { beta _ { gamma +1}} setminus beta _ { gamma} = bigcup _ { gamma} bigcup _ {n} X_ {n} ^ { beta _ { gamma +1}} setminus beta _ { gamma} = bigcup _ { gamma} beta _ { gamma +1} setminus beta _ { gamma} = alpha setminus beta _ {0}}$

a tak ${ displaystyle bigcup _ {n} X_ {n} ^ { alpha} = alpha}$.

Nechat ${ displaystyle mathrm {ot} , (A)}$ být typ objednávky z ${ displaystyle A}$. Pokud jde o typy objednávek, jasně ${ displaystyle mathrm {ot} (X_ {0} ^ { alpha}) = 1 = kappa ^ {0}}$.

Beru na vědomí, že sady ${ displaystyle beta _ { gamma +1} setminus beta _ { gamma}}$ tvoří po sobě jdoucí posloupnost řadových intervalů, a to každý ${ displaystyle X_ {n} ^ { beta _ { gamma +1}} setminus beta _ { gamma}}$ je ocasní segment o ${ displaystyle X_ {n} ^ { beta _ { gama +1}}}$ dostaneme to:

${ displaystyle mathrm {ot} (X_ {n + 1} ^ { alpha}) = sum _ { gamma} mathrm {ot} (X_ {n} ^ { beta _ { gamma +1} } setminus beta _ { gamma}) leq sum _ { gamma} kappa ^ {n} = kappa ^ {n} cdot mathrm {cf} ( alpha) leq kappa ^ { n} cdot kappa = kappa ^ {n + 1}}$

Reference

• Milner, E. C .; Rado, R. (1965), "Princip holubníku pro řadová čísla", Proc. London Math. Soc., Řada 3, 15: 750–768, doi:10.1112 / plms / s3-15.1.750, PAN  0190003
• Jak dokázat Milner-Rado Paradox? - Matematická výměna zásobníků

Tento matematická logika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.