Mediačně řízený model přílohy - Mediation-driven attachment model

V bezškálová síť teorie (matematická teorie sítí nebo teorie grafů ), a model připojení zprostředkovaný pohonem (MDA) Zdá se, že ztělesňuje a preferenční přílohu vládnout spíše mlčky než výslovně. Podle pravidla MDA nový uzel nejprve náhodně vybere uzel z existující sítě a nepřipojí se k ní, ale k náhodně vybranému sousedovi.

Barabasi a Albert v roce 1999 poznamenali prostřednictvím své seminární práce ^[1] poznamenal, že i) nejpřirozenější a člověkem vytvořené sítě nejsou statické, spíše rostou s časem a ii) nové uzly se nespojují s již připojeným náhodně spíše přednostně s ohledem na jejich stupně. Pozdější mechanismus se nazývá pravidlo preferenčního připoutání (PA), které ztělesňuje bohatý fenomén bohatší v ekonomice. Ve svém prvním modelu známém jako Barabási – Albertův model, Barabási a Albert (model BA)

${ displaystyle Pi (i) = { frac {k_ {i}} { součet _ {j = 1} k_ {j}}}}$

kde, ${ displaystyle Pi (i)}$ je pravděpodobnost, že nový uzel vybere uzel ${ displaystyle i}$ ze značených uzlů stávající sítě. Přímo ztělesňuje mechanismus rich get richer.

Nedávno, Hassane et al. navrhla model připoutání založený na zprostředkování, který zřejmě ztělesňuje pravidlo PA, ale nikoli přímo, v přestrojení.^[2] V modelu MDA si příchozí uzel vybere existující uzel k připojení tak, že nejprve náhodně vybere jeden z existujících uzlů, který se považuje za prostředníka. Nový uzel se poté spojí s jedním ze sousedů mediátora, který je také náhodně vybrán. Otázka nyní zní: Jaká je pravděpodobnost ${ displaystyle Pi (i)}$ že již existující uzel ${ displaystyle i}$ je nakonec vybrán pro připojení k novému uzlu? Řekni uzel ${ displaystyle i}$ má titul ${ displaystyle k_ {i}}$ a proto to má ${ displaystyle k_ {i}}$ sousedé. Zvažte, že sousedé ${ displaystyle i}$ jsou označeny ${ displaystyle 1,2, ldots, k_ {i}}$ které mají tituly ${ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {k_ {i}}}$ resp. Jeden může dosáhnout uzlu ${ displaystyle i}$ z každého z nich ${ displaystyle k_ {i}}$ uzly s pravděpodobností inverzní k jejich příslušným stupňům a každý z ${ displaystyle k_ {i}}$ uzly budou pravděpodobně vybrány náhodně s pravděpodobností ${ displaystyle 1 / N}$. Tedy pravděpodobnost ${ displaystyle Pi (i)}$ modelu MDA je:

${ displaystyle Pi (i) = { frac {1} {N}} vlevo [{ frac {1} {k_ {1}}} + { frac {1} {k_ {2}}} + cdots + { frac {1} {k_ {k_ {i}}}} right] = { frac { sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} { frac {1} {k_ {j}}}} {N}}.}$

Může být přepsán jako

${ displaystyle Pi (i) = { frac {k_ {i}} {N}} cdot { frac { sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} { frac {1} { k_ {j}}}} {k_ {i}}},}$

kde faktor ${ displaystyle { frac { sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} { frac {1} {k_ {j}}}} {k_ {i}}}}$ je inverzní k harmonickému průměru (IHM) stupňů ${ displaystyle k_ {i}}$ sousedé uzlu ${ displaystyle i}$. Rozsáhlá numerická simulace naznačuje, že pro malé ${ displaystyle m}$ hodnota IHM každého uzlu kolísá tak divoce, že průměr hodnot IHM v celé síti nemá žádný význam. Nicméně pro velké ${ displaystyle m}$ (speciálně ${ displaystyle m}$ přibližně větší než 14) distribuce hodnoty IHM v celé síti se stane zkresleným gaussovským typem a průměr začne mít význam, který se stane konstantní hodnotou ve velkém ${ displaystyle m}$ omezit. V tomto limitu to člověk zjistí ${ displaystyle Pi (i) propto k_ {i}}$ což je přesně pravidlo PA. Z toho vyplývá, že čím vyšší jsou odkazy (stupně) uzlu, tím vyšší je jeho šance získat více odkazů, protože k nim lze dosáhnout větším počtem způsobů prostřednictvím mediátorů, které v podstatě ztělesňují intuitivní myšlenku mechanismu rich get richer. Síť MDA lze tedy vidět, že se řídí pravidly PA, ale v přestrojení. Navíc pro malé ${ displaystyle m}$ MFA již neplatí, je spíše pravděpodobností přílohy ${ displaystyle Pi (i)}$ se stává superpreferenčním charakterem.

Myšlenku pravidla MDA lze najít v procesu růstu EU vážená planární stochastická mříž (WPSL). Existující uzel (střed každého bloku WPSL je považován za uzly a společná hranice mezi bloky za odkazy mezi odpovídajícími uzly) během procesu získává odkazy pouze v případě, že jeden z jeho sousedů není sám vybrán. Znamená to, že čím vyšší má spojení (nebo stupeň) uzel, tím vyšší je jeho šance získat více odkazů, protože jich lze dosáhnout větším počtem způsobů. V podstatě ztělesňuje intuitivní myšlenku pravidla PA. Duál WPSL je tedy síť, na kterou lze vidět, že dodržuje pravidlo preferenčního připojení, ale v přestrojení. Ve skutečnosti je zjištěno, že jeho rozložení stupňů vykazuje mocenský zákon, jak zdůraznili Barabasi a Albert jako jednu ze základních složek.^[3][4]

Zprostředkování řízená připojovací síť o velikosti 256 uzlů

Rozložení stupňů: Dva faktory, které má průměr IHM smysluplný a nezávislý ${ displaystyle N}$ znamená, že lze použít aproximaci středního pole (MFA). To znamená, že v rámci této aproximace lze nahradit skutečnou hodnotu IHM ${ displaystyle beta / m}$ každého uzlu podle jejich průměru, kde je faktor ${ displaystyle m}$ že počet hran, se kterými nové uzly přicházejí, je uveden pro pozdější pohodlí. Rychlostní rovnice, která se má vyřešit, se pak stane přesně jako u modelu BA, a proto je také síť, která se objeví podle pravidla MDA, bez měřítka v přírodě. Jediný rozdíl je v tom, že exponent ${ displaystyle gamma = {{1} nad { beta (m)}} + 1}$ záleží na ${ displaystyle m}$ kde jako v modelu BA ${ displaystyle gamma = 3}$ nezávislý na ${ displaystyle m}$.

Grafy rozdělení stupňů pro model MDA. Zřetelné grafy jsou pro příchozí uzly přicházející hrany m = 1, m = 15 a m = 100. Ve vložce ukážeme odchylku v exponentu rozdělení stupňů jako funkcim.

Pravděpodobnost přetrvávání vedení

V rostoucí síti nejsou všechny uzly stejně důležité. Míra jejich důležitosti se měří hodnotou jejich stupně ${ displaystyle k}$. Uzly, které jsou spojeny s neobvykle velkým počtem dalších uzlů, tj. Uzly s výjimečně vysokým ${ displaystyle k}$ hodnota, jsou známé jako rozbočovače. Jsou zvláštní, protože díky jejich existenci je střední vzdálenost, měřená v jednotkách počtu spojů, mezi uzly neuvěřitelně malá, čímž hraje klíčovou roli při šíření fám, názorů, nemocí, počítačových virů atd.^[5] Je proto důležité znát vlastnosti největšího centra, které považujeme za vůdce. Stejně jako ve společnosti není vedení v rostoucí síti trvalé. To znamená, že jakmile se uzel stane vůdcem, neznamená to, že zůstane vůdcem ad infinitum. Zajímavá otázka zní: jak dlouho si vedoucí udržuje tuto vlastnost vedení, jak se síť vyvíjí? Abychom našli odpověď na tuto otázku, definujeme pravděpodobnost perzistence vedení ${ displaystyle F ( tau)}$ že si aleader udrží své vedení alespoň po dobu ${ displaystyle tau}$. Pravděpodobnost perzistence byla předmětem zájmu mnoha různých systémů, od dynamiky hrubnutí po kolísající rozhraní nebo polymerní řetězce.

Dva grafy nahoře odhalují mocenské chování pravděpodobnosti perzistence vedení. Abychom ocenili roli m, dáme pravděpodobnost perzistence vedení pro dvě hodnoty (m = 1 am = 100) na stejném grafu: (a) sítě BA a (b) sítě MDA. Dva grafy v dolní části jsou pro exponent perzistence jako funkce m v (c) BA sítích a (d) MDA sítích.

Základní myšlenka pravidla MDA není zcela nová, protože buďto, nebo podobné modely lze najít v několika dřívějších pracích, i když jejich přístup, následná analýza a jejich výsledky jsou odlišné od našich. Například Saramaki a Kaski představili model založený na náhodném procházení.^[6] Další model navržený Boccalettim et al. mohou vypadat podobně jako naše, ale při bližším pohledu se výrazně liší.^[7] Nedávno dal formulář také Yang { it et al.} ${ displaystyle Pi (i)}$ a uchýlili se k aproximaci středního pole.^[8] Povaha jejich výrazů se však významně liší od toho, který studoval Hassan et al.. Ještě dalším úzce souvisejícím modelem je model Growing Network with Redirection (GNR) představený Gabelem, Krapivským a Rednerem, kde se v každém časovém kroku nový uzel připojí k náhodně vybranému cílovému uzlu s pravděpodobností ${ displaystyle 1-r}$, nebo rodiči cíle s pravděpodobností ${ displaystyle r = 1}$.^[9] Model GNR s ${ displaystyle r = 1}$ mohou vypadat podobně jako model MDA. Na rozdíl od modelu GNR je však model MDA určen pro neorientované sítě a že nový odkaz se může spojit s jakýmkoli sousedem prostředníka nebo rodiče. Ještě jeden rozdíl spočívá v tom, že v modelu MDA se může nový uzel připojit k existující síti s ${ displaystyle m}$ hrany a v modelu GNR je to považováno ${ displaystyle m = 1}$ pouze případ.

Reference