Hlavní stabilizační funkce - Master stability function

V matematice je hlavní stabilizační funkce je nástroj používaný k analýze stabilita synchronního stavu v a dynamický systém skládající se z mnoha identických oscilátory které jsou spojeny dohromady, například Kuramoto model.

Nastavení je následující. Zvažte systém s ${ displaystyle N}$ identické oscilátory. Bez spojky se vyvíjejí stejným způsobem diferenciální rovnice, řekněme ${ displaystyle { dot {x}} _ {i} = f (x_ {i})}$ kde ${ displaystyle x_ {i}}$ označuje stav oscilátoru ${ displaystyle i}$ . Synchronní stav systému oscilátorů je tam, kde jsou všechny oscilátory ve stejném stavu.

Spojka je definována silou spojky ${ displaystyle sigma}$ matice ${ displaystyle A_ {ij}}$ který popisuje, jak jsou oscilátory spojeny dohromady, a funkci ${ displaystyle g}$ stavu jediného oscilátoru. Včetně spojky vede k následující rovnici:

{ displaystyle { dot {x}} _ {i} = f (x_ {i}) + sigma součet _ {j = 1} ^ {N} A_ {ij} g (x_ {j}).}

Předpokládá se, že součet řádků ${ displaystyle sum _ {j} A_ {ij}}$ zmizí, takže potrubí synchronních stavů je neutrálně stabilní.

Hlavní stabilitní funkce je nyní definována jako funkce, která mapuje komplexní číslo ${ displaystyle gamma}$ k největšímu Lyapunovův exponent rovnice

{ displaystyle { dot {y}} = (Df + gamma Dg) y.}

Synchronní stav systému spřažených oscilátorů je stabilní, pokud je hlavní stabilitní funkce záporná na ${ displaystyle sigma lambda _ {k}}$ kde ${ displaystyle lambda _ {k}}$ rozsahy přes vlastní čísla vazební matice ${ displaystyle A}$ .

Reference

Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (2008), „Synchronizace v komplexních sítích“, Fyzikální zprávy, 469 (3): 93–153, arXiv:0805.2976, Bibcode:2008PhR ... 469 ... 93A, doi:10.1016 / j.physrep.2008.09.002.
Pecora, Louis M .; Carroll, Thomas L. (1998), „Hlavní stabilizační funkce pro synchronizované spojené systémy“, Dopisy o fyzické kontrole, 80 (10): 2109–2112, Bibcode:1998PhRvL..80.2109P, doi:10.1103 / PhysRevLett.80.2109.