Martingaleova centrální limitní věta - Martingale central limit theorem

v teorie pravděpodobnosti, teorém centrálního limitu říká, že za určitých podmínek součet mnoha nezávislé identicky rozložené náhodné proměnné, při odpovídajícím měřítku, konverguje v distribuci na standard normální distribuce. The Martingaleova centrální limitní věta zobecňuje tento výsledek pro náhodné proměnné na martingales, což jsou stochastické procesy kde změna hodnoty procesu od času t na čas t +1 má očekávání nula, dokonce podmíněna předchozími výsledky.

Prohlášení

Zde je jednoduchá verze centrální limitní věty martingale: Let

${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky ,}$ - být martingale s omezenými přírůstky, tj. předpokládejme

${ displaystyle operatorname {E} [X_ {t + 1} -X_ {t} vert X_ {1}, dots, X_ {t}] = 0 ,,}$

a

${ displaystyle | X_ {t + 1} -X_ {t} | leq k}$

téměř jistě pro některé pevné vázané k a všechno t. Předpokládejme také ${ displaystyle | X_ {1} | leq k}$ téměř jistě.

Definovat

${ displaystyle sigma _ {t} ^ {2} = operatorname {E} [(X_ {t + 1} -X_ {t}) ^ {2} | X_ {1}, ldots, X_ {t} ],}$

a nechte

${ displaystyle tau _ { nu} = min left {t: sum _ {i = 1} ^ {t} sigma _ {i} ^ {2} geq nu right }. }$

Pak

${ displaystyle { frac {X _ { tau _ { nu}}} { sqrt { nu}}}}$

konverguje v distribuci k normálnímu rozdělení s průměrem 0 a rozptylem 1 jako ${ displaystyle nu až + infty !}$. Přesněji řečeno,

${ displaystyle lim _ { nu to + infty} operatorname {P} left ({ frac {X _ { tau _ { nu}}} { sqrt { nu}}}$

Součet odchylek se musí lišit do nekonečna

Výrok výše uvedeného výsledku implicitně předpokládá součet odchylek do nekonečna, takže s pravděpodobností 1 platí následující:

${ displaystyle sum _ {t = 1} ^ { infty} sigma _ {t} ^ {2} = infty}$

Tím je zajištěno, že s pravděpodobností 1:

${ displaystyle tau _ {v} < infty, forall v geq 0}$

Tuto podmínku porušuje například martingale, který je definován jako nulový téměř jistě po celou dobu.

Intuice na výsledek

Výsledek lze intuitivně pochopit zapsáním poměru jako součet:

${ displaystyle { frac {X _ { tau _ {v}}} { sqrt {v}}} = { frac {X_ {1}} { sqrt {v}}} + { frac {1} { sqrt {v}}} sum _ {i = 1} ^ { tau _ {v} -1} (X_ {i + 1} -X_ {i}), forall tau _ {v} geq 1}$

První člen na pravé straně asymptoticky konverguje k nule, zatímco druhý člen je kvalitativně podobný součtovému vzorci pro centrální limitní větu v jednodušším případě i.i.d. náhodné proměnné. I když výrazy ve výše uvedeném výrazu nemusí být nutně i.i.d., nesouvisejí a mají nulový průměr. Vskutku:

${ displaystyle E [(X_ {i + 1} -X_ {i})] = 0, forall i in {1,2,3, ... }}$

${ displaystyle E [(X_ {i + 1} -X_ {i}) (X_ {j + 1} -X_ {j})] = 0, forall i neq j, i, j in {1 , 2,3, ... }}$

Reference

Mnoho dalších variant na centrální limitní větě martingale lze nalézt v:

• Hall, Peter; C. C. Heyde (1980). Martingaleova limitní teorie a její aplikace. New York: Academic Press. ISBN  0-12-319350-8.
• Diskuse k teorémě 5.4 a správné formě dodatku 5.3 (ii) viz Bradley, Richard (1988). „K některým výsledkům MI Gordin: objasnění nedorozumění“. Journal of Theoretical Probability. Springer. 1 (2): 115–119. doi:10.1007 / BF01046930.