Lyapunov – Malkinova věta - Lyapunov–Malkin theorem

The Lyapunov – Malkinova věta (pojmenováno pro Aleksandr Lyapunov a Ioel Malkin [ru ]) je matematická věta popisující nelineární stabilitu systémů.^[1][2]

Teorém

V systému diferenciální rovnice,

${ displaystyle { dot {x}} = Ax + X (x, y), quad { dot {y}} = Y (x, y)}$

kde, ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {m}}$, ${ displaystyle y in mathbb {R} ^ {n}}$, ${ displaystyle A}$ v m × m matice, a X(X, y), Y(X, y) představují nelineární výrazy vyššího řádu. Padám vlastní čísla matice ${ displaystyle A}$ mít záporné skutečné části a X(X, y), Y(X, y) zmizet, když X = 0, pak řešení X = 0, y = 0 tohoto systému je stabilní vzhledem k (X, y) a asymptoticky stabilní vůčiX. Pokud je řešení (X(t), y(t)) je dostatečně blízko řešení X = 0, y = 0, tedy

${ Displaystyle lim _ {t to infty} x (t) = 0, quad lim _ {t to infty} y (t) = c.}$

Příklad

Uvažujme vektorové pole dané

${ displaystyle { dot {x}} = - x + x ^ {2} y, quad { dot {y}} = xy ^ {2}}$

V tomto případě, A = -1 a X(0, y) = Y(0, y) = 0 pro všechny y, takže tento systém uspokojuje hypotézu Lyapunov-Malkinovy ​​věty.

Obrázek níže ukazuje graf tohoto vektorového pole spolu s některými trajektoriemi, které procházejí blízko (0,0). Jak předpokládá věta, je vidět, že trajektorie v okolí (0,0) konvergují k bodu ve tvaru (0,C).

Reference