Line moaré - Line moiré

Line moaré je jeden typ moaré vzor; vzor, ​​který se objeví při překládání dvou průhledných vrstev obsahujících korelované neprůhledné vzory. Line moaré je případ, kdy superponované vzory obsahují přímé nebo zakřivené čáry. Při pohybu vzorů vrstev se vzory moaré transformují nebo se pohybují vyšší rychlostí. Tento efekt se nazývá optické zrychlení moaré.

Superpozice vrstev s periodicky se opakujícími rovnoběžnými čarami

Obrázek 1. Dvě vrstvy s rovnoběžnými čarami

Jednoduché vzory moaré lze pozorovat při překrývání dvou průhledných vrstev zahrnujících periodicky se opakující neprůhledné paralelní linie, jak je znázorněno na obrázku 1. Čáry jedné vrstvy jsou rovnoběžné s čarami druhé vrstvy.

Obrázek superpozice se nezmění, pokud jsou průhledné vrstvy s neprůhlednými vzory obráceny. Při zvažování tištěných vzorků je jedna z vrstev označena jako základní vrstva a druhá jako odhalující vrstva. Předpokládá se, že odhalovací vrstva je vytištěna na průhlednou fólii a je položena na horní část základní vrstvy, kterou lze tisknout buď na průhlednou fólii, nebo na neprůhledný papír. Období dvou vrstev jsou blízko. Období základní vrstvy označíme jako p_b a období odhalující vrstvy jako p_r.

Obrázek superpozice na obrázku 1 nastiňuje periodicky se opakující tmavé paralelní pruhy, které se nazývají moaré čáry. Mezery mezi čarami moaré jsou mnohem větší než období čar ve dvou vrstvách.

Obrázek 2. Zóny překrývání a prokládání

Světelné pásy superpozičního obrazu odpovídají zónám, kde se linie obou vrstev překrývají. Tmavé pruhy superpozičního obrazu tvořícího moaré čáry odpovídají zónám, kde se čáry dvou vrstev prokládají a skrývají bílé pozadí. Štítky na obrázku 2 zobrazují průchody ze světlých zón s překrývajícími se vrstvami do tmavých zón s prokládanými vrstvami. Světlá a tmavá zóna se pravidelně mění.

Obrázek 3 ukazuje detailní diagram superpozičního obrazu mezi dvěma sousedními zónami s překrývajícími se liniemi odhalovací a základní vrstvy (tj. Mezi dvěma světelnými pásy).^[1]

Období p_m moaré čar je vzdálenost od jednoho bodu, kde se čáry obou vrstev překrývají (ve spodní části obrázku), k dalšímu takovému bodu (nahoře). Počítáme čáry vrstev, počínaje od spodního bodu. Při počtu 0 se čáry obou vrstev překrývají. Protože v našem případě p_r<p_b, pro stejný počet započítaných čar, čáry základní vrstvy s dlouhou periodou postupují rychleji než linie odhalující vrstvy s krátkou periodou. V polovině vzdálenosti p_m, čáry základní vrstvy jsou před liniemi odhalující vrstvy o půl období (p_r/ 2) linií odhalující vrstvy, díky nimž se linky prokládají a vytvářejí tmavý moaré pás. Na plnou vzdálenost p_m, čáry základní vrstvy jsou před liniemi odhalující vrstvy o celou dobu p_r, takže čáry vrstev se opět překrývají. Čáry základní vrstvy získávají vzdálenost p_m s tolika řádky (p_m/p_b) jako počet linií odhalovací vrstvy (p_m/p_r) pro stejnou vzdálenost minus jedna: p_m/p_r = p_m/p_b + 1. Odtud získáme dobře známý vzorec pro dané období p_m obrázku superpozice:^[2]

${displaystyle p_ {m} = {frac {p_ {b} cdot p_ {r}} {p_ {b} -p_ {r}}}.}$

V případě, že doba odhalovací vrstvy je delší než doba základní vrstvy, je vzdálenost mezi pásmy moaré absolutní hodnotou vypočítanou vzorcem. Superpozice dvou vrstev zahrnujících paralelní čáry vytváří optický obraz obsahující paralelní moaré čáry se zvětšenou periodou. Podle vzorce pro výpočet p_mČím blíže jsou období dvou vrstev, tím silnější je faktor zvětšení.

Tloušťky čar vrstev ovlivňují celkovou temnotu superpozičního obrazu a tloušťku pásů moiré, ale období p_m nezávisí na tloušťce čar vrstev.

Zrychlení pohybů pomocí moaré

Pásy moaré z obrázku 1 se budou pohybovat, pokud přemístíme odhalující vrstvu. Když se odhalovací vrstva pohybuje kolmo na čáry vrstvy, proužky moaré se pohybují podél stejné osy, ale několikrát rychleji než pohyb odhalovací vrstvy.

Obrázek 4. Pomalý pohyb odhalovací vrstvy nahoru

The GIF animace zobrazené na obrázku 4 odpovídá pomalému pohybu odhalovací vrstvy. Soubor GIF opakovaně animuje pohyb nahoru odhalovací vrstvy (kolmo k čarám vrstvy) na vzdálenost rovnou p_r. Animace ukazuje, že čáry moaré superpozičního obrazu se pohybují nahoru rychlostí, mnohem vyšší, než je rychlost pohybu odhalující vrstvy.

Když se odhalující vrstva posune o jednu celou periodu kolmo k čarám vrstvy (p_r) svého vzoru musí být superpoziční optický obraz stejný jako původní. To znamená, že čáry moaré procházejí vzdáleností rovnající se periodě superpozičního obrazu p_m zatímco odhalující vrstva prochází vzdálenost rovnající se jeho periodě p_r. Za předpokladu, že základní vrstva je nepohyblivá (proti_b= 0), následující rovnice představuje poměr optické rychlosti k rychlosti odhalující vrstvy:

${displaystyle {frac {v_ {m}} {v_ {r}}} = {frac {p_ {m}} {p_ {r}}}.}$

Výměnou p_m s jeho vzorcem máme^[3]

${displaystyle {frac {v_ {m}} {v_ {r}}} = {frac {p_ {b}} {p_ {b} -p_ {r}}}.}$

V případě, že doba odhalovací vrstvy je delší než doba základní vrstvy, pohybuje se optický obraz opačným směrem. Záporná hodnota poměru vypočítaného podle tohoto vzorce znamená pohyb v opačném směru.

Superpozice vrstev se šikmými čarami

Zde uvádíme vzory se šikmými čarami. Pokud nás zajímá optické zrychlení, můžeme představit případ nakloněných vzorů, takže vzorce pro výpočet moaré period a optické zrychlení zůstávají platné v jejich současné nejjednodušší podobě. Za tímto účelem hodnoty období p_r, p_b, a p_m odpovídají vzdálenostem mezi čarami podél osy pohybu (svislá osa v animovaném příkladu na obrázku 4). Když jsou čáry vrstvy kolmé na osu pohybu, tečky (p) se rovnají vzdálenostem (označeným jako T) mezi řádky (jako na obrázku 4). Pokud jsou čáry nakloněné, tečky (p) podél osy pohybu se nerovnají vzdálenosti (T) mezi řádky.

Výpočet sklonu čar moaré jako funkce sklonu čar vrstev

Obrázek 5. Stejný sklon vrstev

Superpozice dvou vrstev se stejně nakloněnými čarami vytváří moaré čáry skloněné pod stejným úhlem. Obrázek 5 je získán z obrázku 1 se svislým střihem. Na obrázku 5 jsou čáry vrstvy a čáry moaré nakloněny o 10 stupňů. Protože sklon není rotace, během sklonu je vzdálenost (p) mezi vrstvami podél svislé osy je zachována, ale skutečná vzdálenost (T) mezi čarami (podél osy kolmé na tyto čáry) se změní. Rozdíl mezi vertikálními obdobími p_b, p_ra vzdálenosti T_b, T_r je znázorněno na obrázku 8.

Stupeň sklonu liniových vrstev se může měnit podél křivek tvořících vodorovnou osu. Superpozice dvou vrstev se stejným vzorem sklonu vytváří moaré křivky se stejným vzorem sklonu. Na obrázku 6 se stupeň sklonu vrstevnic postupně mění podle následujícího pořadí stupňů (+30, –30, +30, –30, +30). Vrstva období p_b a p_r představují vzdálenosti mezi křivkami podél svislé osy. Prezentované vzorce pro výpočet období p_m (vertikální vzdálenost mezi křivkami moaré) a optické zrychlení (podél svislé osy) platí pro obrázek 6.

Zajímavější je případ, kdy stupně sklonu liniových vrstev nejsou stejné pro základní a odhalovací vrstvy. Obrázek 7 ukazuje animaci superpozičních obrazů, kde stupeň sklonu čar základní vrstvy je konstantní (10 stupňů), ale sklon čar odhalující vrstvy osciluje mezi 5 a 15 stupni. Období vrstev podél svislé osy p_b a p_r jsou stále stejné. Odpovídajícím způsobem období p_m (podél svislé osy) vypočítané pomocí základního vzorce také zůstává stejné.

Obrázek 8 pomáhá vypočítat stupeň sklonu moaré optických linií jako funkci sklonu linií odhalení a linií základní vrstvy. Čáry vrstev nakreslíme schematicky, aniž bychom ukazovali jejich skutečné tloušťky. Tučné čáry diagramu jsou nakloněny α_b stupně jsou čáry základní vrstvy. Tučně ohnuté čáry α_r stupně jsou čáry odhalující vrstvy. Čáry základní vrstvy jsou svisle rozmístěny o vzdálenost rovnou p_ba čáry odhalovací vrstvy jsou svisle rozmístěny o vzdálenost rovnou p_r. Vzdálenosti T_b a T_r představují skutečný prostor mezi základní vrstvou a liniemi odhalovací vrstvy. Průsečíky linií základny a odhalovací vrstvy (na obrázku vyznačené dvěma šipkami) leží na středové ose světelného moaré pásu. Přerušovaná čára na obrázku 8 odpovídá ose pásma světelného moaré. Stupeň sklonu moaré čar je tedy sklon α_m přerušované čáry.

Z obrázku 8 odvodíme následující dvě rovnice:

${displaystyle {egin {cases} an alpha _ {m} = {frac {p_ {b} + lcdot an alpha _ {b}} {l}} an alpha _ {r} = {frac {p_ {b} - p_ {r} + lcdot alfa _ {b}} {l}} konec {případů}}}$

Z těchto rovnic odvodíme rovnici pro výpočet sklonu moaré čar jako funkci sklonů základní vrstvy a čar odhalující vrstvy:

${displaystyle an alpha _ {m} = {frac {p_ {b} cdot an alpha _ {r} -p_ {r} cdot an alpha _ {b}} {p_ {b} -p_ {r}}}}$

Odečtení jiných známých vzorců

Pravá vzorová období T_b, T_r, a T_m (podél os kolmých na vzorové čáry) se počítají následovně (viz obrázek 8):

${displaystyle T_ {b} = p_ {b} cdot cos alpha _ {b}, T_ {r} = p_ {r} cdot cos alpha _ {r}, T_ {m} = p_ {m} cdot cos alpha _ { m}}$

Odtud pomocí vzorce pro výpočet opálení (α_m) s obdobími p, odvodíme dobře známý vzorec pro výpočet úhlu moiré α_m s obdobími T:^[4][5][6]

${displaystyle alpha _ {m} = arctan left ({frac {T_ {b} cdot sin alpha _ {r} -T_ {r} cdot sin alpha _ {b}} {T_ {b} cdot cos alpha _ {r} -T_ {r} cdot cos alpha _ {b}}} v pořádku)}$

Od vzorce pro výpočet p_m odvodíme další známý vzorec pro výpočet období T_m z moaré vzor (podél osy kolmé na moaré pásy):

${displaystyle T_ {m} = {frac {T_ {b} cdot T_ {r}} {sqrt {T_ {b} ^ {2} + T_ {r} ^ {2} -2cdot T_ {b} cdot T_ {r } cdot cos (alpha _ {r} -alpha _ {b})}}}}$

V konkrétním případě, kdy T_b=T_r=T, vzorec pro období T_m se redukuje na dobře známý vzorec:

${displaystyle T_ {m} = {frac {T} {2cdot sin left ({frac {alpha _ {r} -alpha _ {b}} {2}} ight)}}}$

A vzorec pro výpočet α_m se snižuje na:

${displaystyle alpha _ {m} = 90 ^ {circ} + {frac {alpha _ {r} + alpha _ {b}} {2}}}$

Sklon odhalujících čar jako funkce sklonu čar superpozice obrazu

Zde je rovnice pro výpočet sklonu linie odhalující vrstvy α_r pro daný sklon čáry základní vrstvy α_ba požadovaný sklon čáry moaré α_m:

${displaystyle an alpha _ {r} = {frac {p_ {r}} {p_ {b}}} cdot an alpha _ {b} + left (1- {frac {p_ {r}} {p_ {b}} } ight) cdot alfa _ {m}.}$

Obrázek 9. Moiré křivky s přímými liniemi základní vrstvy

Pro jakýkoli daný sklon čáry základní vrstvy nám tato rovnice umožňuje získat požadovaný sklon čáry moiré správnou volbou sklonu odhalující vrstvy. Na obrázku 6 jsme ukázali příklad, kdy křivky vrstev sledují identický vzor sklonu tvořící superpoziční obraz se stejným vzorem sklonu. Stupně sklonu vrstev a čar moaré se mění podél vodorovné osy podle následujícího sledu střídavých hodnot stupňů (+30, –30, +30, –30, +30). Na obrázku 9 získáme stejný vzor superpozice jako na obrázku 6, ale se základní vrstvou obsahující přímé čáry skloněné o –10 stupňů. Odhalovací vzor z obrázku 9 je vypočítán interpolací křivek do spojených přímek, kde pro každou polohu podél vodorovné osy je úhel sklonu odhalovací čáry α_r je počítán jako funkce α_b a α_m podle výše uvedené rovnice.

Obrázek 9 ukazuje, že rozdíl mezi úhly sklonu odhalovací čáry a čar základní vrstvy musí být několikrát menší než rozdíl mezi úhly sklonu čar moaré a čar základní vrstvy.

Obrázek 10. Převrácená základní vrstva a čáry moaré

Další příklad vytváření stejných vzorů superpozice jako na obrázcích 6 a 9 je zobrazen na obrázku 10. Na obrázku 10 je požadovaný vzor sklonu (+30, –30, +30, –30, +30) získán pomocí základní vrstvy s vzor obráceného sklonu (–30, +30, –30, +30, –30).

Obrázek 11. Stejné křivky moaré s úpravou vzorů vrstev

Vliv na kruhové čáry.

Obrázek 11 ukazuje animaci, kde získáme superpoziční obraz se vzorem konstantního sklonu moaré čar (+30, –30, +30, –30, +30) pro kontinuální úpravy párů základní a odhalovací vrstvy. Vzor sklonu základní vrstvy se postupně mění a vzor sklonu odhalující vrstvy se odpovídajícím způsobem přizpůsobuje tak, že vzor sklonu superpozičního obrazu zůstává stejný.

Reference

externí odkazy

• Čárové moaré vzory: Základy liniových moaré vzorů a optické zrychlení; rovnice pro výpočet obrysů a rychlostí moaré křivek; kruhové vzory a rotační pohyby
• Náhodný lineární moaré: Aperiodická náhodná linka moiré
• Zrcadla úvodní stránky line moiré: USA, Švýcarsko