Lehmerova sekvence - Lehmer sequence

v matematika, a Lehmerova sekvence je zobecněním a Lucasova sekvence.^[1]

Algebraické vztahy

Pokud jsou a a b komplexní čísla s

${ displaystyle a + b = { sqrt {R}}}$

${ displaystyle ab = Q}$

za následujících podmínek:

• Q a R jsou relativně prime nenulové celá čísla
• ${ displaystyle a / b}$ není kořen jednoty.

Odpovídající Lehmerova čísla jsou pak:

${ displaystyle U_ {n} ({ sqrt {R}}, Q) = { frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {a-b}}}$

pro n zvláštní a

${ displaystyle U_ {n} ({ sqrt {R}}, Q) = { frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$

pro n dokonce.

Jejich doprovodná čísla jsou:

${ displaystyle V_ {n} ({ sqrt {R}}, Q) = { frac {a ^ {n} + b ^ {n}} {a + b}}}$

pro n liché a

${ displaystyle V_ {n} ({ sqrt {R}}, Q) = a ^ {n} + b ^ {n}}$

pro n dokonce.

Opakování

Lehmerova čísla tvoří lineární relace opakování s

${ displaystyle U_ {n} = (R-2Q) U_ {n-2} -Q ^ {2} U_ {n-4} = (a ^ {2} + b ^ {2}) U_ {n-2 } -a ^ {2} b ^ {2} U_ {n-4}}$

s počátečními hodnotami ${ displaystyle U_ {0} = 0, U_ {1} = 1, U_ {2} = 1, U_ {3} = R-Q = a ^ {2} + ab + b ^ {2}}$. Podobně vyhovuje i doprovodná sekvence

${ displaystyle V_ {n} = (R-2Q) V_ {n-2} -Q ^ {2} V_ {n-4} = (a ^ {2} + b ^ {2}) V_ {n-2 } -a ^ {2} b ^ {2} V_ {n-4}}$

s počátečními hodnotami ${ displaystyle V_ {0} = 2, V_ {1} = 1, V_ {2} = R-2Q = a ^ {2} + b ^ {2}, V_ {3} = R-3Q = a ^ { 2} -ab + b ^ {2}.}$

Odkaz

Tento teorie čísel související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.