Stav Ladyzhenskaya – Babuška – Brezzi - Ladyzhenskaya–Babuška–Brezzi condition - Wikipedia

v numerické parciální diferenciální rovnice, Stav Ladyzhenskaya – Babuška – Brezzi (LBB) je dostatečnou podmínkou pro to, aby problém sedlového bodu měl jedinečné řešení, které nepřetržitě závisí na vstupních datech. Problémy s sedlovým bodem vznikají při diskretizaci Stokesův tok a v smíšená diskretizace konečných prvků z Poissonova rovnice. U pozitivně-definitních problémů, jako je například nesměšovaná formulace Poissonovy rovnice, bude většina diskretizačních schémat konvergovat ke skutečnému řešení v limitu, jakmile se síť upřesní. U problémů se sedlovým bodem je však mnoho diskretizací nestabilních, což vede k artefaktům, jako jsou falešné oscilace. Podmínka LBB udává kritéria, kdy je diskretizace problému sedlového bodu stabilní.

Podmínka se různě označuje jako podmínka LBB, podmínka Babuška – Brezzi nebo podmínka „inf-sup“.

Problémy se sedlovým bodem

Abstraktní formu problému se sedlovým bodem lze vyjádřit pomocí Hilbertových prostorů a bilineárních forem. Nechat ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle Q}$ být Hilbertovy prostory a nechat ${ displaystyle a: V krát V to mathbb {R}}$, ${ displaystyle b: V krát Q až mathbb {R}}$ být bilineární formy ${ displaystyle f ve V ^ {*}}$, ${ displaystyle g v Q ^ {*}}$ kde ${ displaystyle V ^ {*}}$, ${ displaystyle Q ^ {*}}$ jsou dvojí prostory. Problém sedlového bodu pro dvojici ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$ je najít pár polí ${ displaystyle u}$ v ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle p}$ v ${ displaystyle Q}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle q}$ v ${ displaystyle Q}$,

${ displaystyle { begin {zarovnaný} a (u, v) + b (v, p) & = langle f, v rangle b (u, q) & = langle g, q rangle. konec {zarovnáno}}}$

Například pro Stokesovy rovnice na a ${ displaystyle d}$-dimenzionální doména ${ displaystyle Omega}$, pole jsou rychlost ${ displaystyle u}$ a tlak ${ displaystyle p}$, kteří žijí v sobolevském prostoru ${ displaystyle H ^ {1} ( Omega) ^ {d}}$ a Lebesgueův prostor ${ displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$. Bilineární formy tohoto problému jsou

${ displaystyle { begin {aligned} a (u, v) & = int _ { Omega} mu nabla u: nabla v , dx b (u, q) & = int _ { Omega} ( nabla cdot u) q , dx, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mu}$ je viskozita.

Dalším příkladem je smíšená Laplaceova rovnice (v této souvislosti také někdy nazývaná Darcyho rovnice), kde pole jsou opět rychlostí ${ displaystyle u}$ a tlak ${ displaystyle p}$, kteří žijí v prostorech ${ displaystyle H _ { text {div}} ( Omega) ^ {d}}$ a ${ displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$Zde jsou bilineární formy problému

${ displaystyle { begin {sladěný} a (u, v) & = int _ { Omega} u cdot K ^ {- 1} v , dx b (u, q) & = int _ { Omega} ( nabla cdot u) q , dx, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle K ^ {- 1}}$ je inverzní k tenzoru propustnosti.

Výrok věty

Předpokládejme to ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou obě spojité bilineární formy, a navíc to ${ displaystyle a}$ je donucovací pro jádro ${ displaystyle b}$:

${ displaystyle a (v, v) geq alpha | v | _ {V} ^ {2}}$

pro všechny ${ displaystyle v}$ takhle ${ displaystyle b (v, q) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle q v Q}$.Li ${ displaystyle b}$ uspokojuje inf – sup nebo Ladyzhenskaya – Babuška – Brezzi stav

${ displaystyle sup _ {v ve V, v neq 0} { frac {b (v, q)} { | v | _ {V}}} geq beta | q | _ {Q}}$

pro všechny ${ displaystyle q}$ a pro některé ${ displaystyle beta> 0}$, pak existuje jedinečné řešení ${ displaystyle u, p}$ problému sedlového bodu. Navíc existuje konstanta ${ displaystyle C}$ takhle

${ displaystyle | u | _ {V} + | p | _ {Q} leq C ( | f | _ {V ^ {*}} + | g | _ {Q ^ { *}}).}$

Alternativní název podmínky, stav „inf-sup“, pochází ze skutečnosti, že dělením ${ displaystyle | q | _ {Q}}$, jeden dorazí k prohlášení

${ displaystyle sup _ {v ve V, v neq 0} { frac {b (v, q)} { | v | _ {V} | q | _ {Q}}} geq beta.}$

Protože to musí platit pro všechny ${ displaystyle q v Q}$ a protože pravá strana nezávisí na ${ displaystyle q}$, můžeme převzít infimum přes všechny ${ displaystyle q}$ na levé straně a může přepsat podmínku ekvivalentně jako

${ displaystyle inf _ {q v Q, q neq 0} sup _ {v ve V, v neq 0} { frac {b (v, q)} { | v | _ { V} | q | _ {Q}}} geq beta.}$

Připojení k problémům s nekonečně dimenzionální optimalizací

Problémy se sedlovým bodem, jako jsou ty, které jsou uvedeny výše, jsou často spojeny s problémy s nekonečně dimenzionální optimalizací s omezeními. Například Stokesovy rovnice jsou výsledkem minimalizace rozptylu

${ displaystyle I (u) = int _ { Omega} vlevo ({ frac {1} {2}} mu | nabla u | ^ {2} -f cdot u right)}$

podléhá omezením nestlačitelnosti

${ displaystyle nabla cdot u = 0.}$

Při použití obvyklého přístupu k omezeným optimalizačním problémům lze vytvořit Lagrangeovu

${ displaystyle L (u, lambda) = I (u) - left ( lambda, nabla cdot u right) = int _ { Omega} left ({ frac {1} {2} } mu | nabla u | ^ {2} -f cdot u- lambda ( nabla cdot u) right).}$

Podmínky optimality (Karush-Kuhn-Tucker podmínky ) - to jsou podmínky prvního řádu nezbytné - které odpovídají tomuto problému, jsou pak variantou ${ displaystyle L (u, lambda)}$ pokud jde o ${ displaystyle u}$

${ displaystyle int _ { Omega} left ({ frac {1} {2}} mu nabla u: nabla vf cdot v- lambda ( nabla cdot v) right) = 0 qquad forall v in H ^ {1} ( Omega) ^ {d},}$

a variaci ${ displaystyle L (u, lambda)}$ pokud jde o ${ displaystyle lambda}$:

${ displaystyle - int _ { Omega} left (q ( nabla cdot u) right) = 0 qquad forall q in L_ {2} ( Omega) ^ {d},}$

Toto je přesně variační forma Stokesových rovnic uvedených výše s

${ displaystyle a (u, v): = int _ { Omega} left ({ frac {1} {2}} mu nabla u: nabla v right),}$

${ displaystyle b ( lambda, v): = int _ { Omega} lambda ( nabla cdot v).}$

Inf-sup podmínky lze v tomto kontextu chápat jako nekonečně-dimenzionální ekvivalent omezení kvalifikace (konkrétně LICQ) podmínky nezbytné k zajištění toho, že minimalizátor omezeného optimalizačního problému také splňuje nezbytné podmínky prvního řádu představované výše uvedeným problémem sedlového bodu. V této souvislosti lze podmínky inf-sup interpretovat tak, že se jedná o relativní vzhledem k velikosti prostoru ${ displaystyle V}$ stavových proměnných ${ displaystyle u}$, počet omezení (vyjádřený velikostí prostoru ${ displaystyle Q}$ multiplikátorů Lagrange ${ displaystyle lambda}$) musí být dostatečně malý. Alternativně to lze považovat za požadavek velikosti prostoru ${ displaystyle V}$ stavových proměnných ${ displaystyle u}$ musí být dostatečně velký ve srovnání s velikostí prostoru ${ displaystyle Q}$ multiplikátorů Lagrange ${ displaystyle lambda}$.

Reference

• Boffi, Daniele; Brezzi, Franco; Fortin, Michel (2013). Metody a aplikace smíšených konečných prvků. 44. Springer.

externí odkazy

• Smíšená variační formulace pro 3D lineární a nelineární magnetostatiku
• Poznámky k přednášce pro pokročilé metody konečných prvků
• Stav a blokování inf-sup: porozumění a obcházení