Kleinův paradox - Klein paradox

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na fyziku. Specifický problém je: Zde uvedené diagramy a interpretace vyžadují potvrzení. Fyzika WikiProject může pomoci při náboru odborníka. (Říjen 2019)

V roce 1929 fyzik Oskar Klein^[1] dosáhl překvapivého výsledku použitím Diracova rovnice ke známému problému rozptyl elektronů od a potenciální bariéra. V nerelativistické kvantové mechanice tunelování elektronů je pozorována bariéra s exponenciální tlumení. Kleinův výsledek však ukázal, že pokud je potenciál v řádu elektronová hmotnost, ${ displaystyle V sim mc ^ {2}}$, bariéra je téměř průhledná. Navíc, jak se potenciál blíží k nekonečnu, odraz se zmenšuje a elektron je vždy přenášen.

Okamžité uplatnění paradoxu bylo na Rutherfordově proton – elektron model neutrálních částic v jádru, před objevením neutron. Paradox představoval kvantově mechanickou námitku proti představě elektronu uzavřeného v jádře.^[2] Tento jasný a přesný paradox naznačuje, že elektron nemůže být v jádru omezen žádnou potenciální jamkou. O smyslu tohoto paradoxu se v té době intenzivně diskutovalo.^[2]

Bezhmotné částice

Uvažujme nehmotnou relativistickou částici blížící se potenciálnímu výškovému kroku ${ displaystyle V_ {0}}$ s energií${ displaystyle E_ {0}$ a hybnost${ displaystyle p}$.

Vlnová funkce částice, ${ displaystyle psi}$, následuje časově nezávislý Diracova rovnice:

${ displaystyle left ( sigma _ {x} p + V right) psi = E_ {0} psi, quad V = { begin {cases} 0, & x <0 V_ {0}, & x> 0 end {cases}}}$

A ${ displaystyle sigma _ {x}}$ je Pauliho matice:

${ displaystyle sigma _ {x} = doleva ({ začátek {matice} 0 a 1 1 a 0 konec {matice}} doprava)}$

Obr. 1 Vyobrazení rozptylového vztahu, X-osa představuje hybnost, zatímco y-osa představuje energii.

Za předpokladu, že se částice šíří zleva, získáme dvě řešení - jedno před krokem v oblasti (1) a jedno pod potenciálem v oblasti (2):

${ displaystyle psi _ {1} = Ae ^ {ipx} left ({ begin {matrix} 1 1 end {matrix}} right) + A'e ^ {- ipx} left ({ begin {matrix} -1 1 end {matrix}} right), quad p = E_ {0} ,}$

${ displaystyle psi _ {2} = Be ^ {ikx} vlevo ({ begin {matrix} 1 1 end {matrix}} right), quad left | k right | = V_ { 0} -E_ {0} ,}$

kde koeficienty A, A' a B jsou komplexní čísla. Funkce příchozí i přenášené vlny jsou spojeny s kladnou rychlostí skupiny (modré čáry na obr. 1), zatímco funkce odražené vlny je spojena se zápornou rychlostí skupiny. (Zelené čáry na obr.1)

Nyní chceme vypočítat koeficienty prostupu a odrazu, ${ displaystyle T, R.}$Jsou odvozeny z amplituda pravděpodobnosti proudy.

Definice pravděpodobnostního proudu souvisejícího s Diracovou rovnicí je:

${ displaystyle J_ {i} = psi _ {i} ^ { dýka} sigma _ {x} psi _ {i}, i = 1,2 ,}$

V tomto případě:

${ displaystyle J_ {1} = 2 left [ left | A right | ^ {2} - left | A ' right | ^ {2} right], quad J_ {2} = 2 left | B vpravo | ^ {2} ,}$

Součinitele prostupu a odrazu jsou:

${ displaystyle R = { frac { left | A ' right | ^ {2}} { left | A right | ^ {2}}}, quad T = { frac { left | B vpravo | ^ {2}} { vlevo | A vpravo | ^ {2}}} ,}$

Spojitost vlnové funkce při ${ displaystyle x = 0}$, výnosy:

${ displaystyle left | A right | ^ {2} = left | B right | ^ {2} ,}$

${ displaystyle left | A ' right | ^ {2} = 0 ,}$

Koeficient přenosu je tedy 1 a nedochází k žádnému odrazu.

Jedna interpretace paradoxu je, že potenciální krok nemůže obrátit směr skupinové rychlosti nehmotné relativistické částice. Toto vysvětlení nejlépe vyhovuje výše uvedenému řešení s jednou částí. Jiné, složitější interpretace jsou doporučovány v literatuře v kontextu kvantová teorie pole kde je ukázáno, že k neomezenému tunelování dochází v důsledku existence páry částice-antičástice na potenciálu.

Masivní případ

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Květen 2018)

V případě masivního případu jsou výpočty podobné výše uvedeným. Výsledky jsou stejně překvapivé jako v případě bezhmotného případu. Koeficient přenosu je vždy větší než nula a blíží se 1, protože potenciální krok jde do nekonečna.

Kleinova zóna

Pokud je energie částice v rozsahu ${ displaystyle m$, pak bude výsledkem spíše částečná reflexe než celková reflexe.

Řešení pro masivní případ

Zatímco tradiční rozlišení používá produkci párů částic / anti-částic v kontextu kvantová teorie pole (Hansen 1981), existuje jednodušší rozlišení, které nahrazuje produkci fyzických párů za rozptyl řešení negativní energie pod bariérou (Alhaidari 2009). Tato strategie byla také použita k získání analytických řešení Diracova rovnice pro nekonečnou čtvercovou jamku.

Ostatní případy

Tyto výsledky byly rozšířeny na vyšší dimenze a na další typy potenciálů, jako je lineární krok, čtvercová bariéra, hladký potenciál atd. Mnoho experimentů s transportem elektronů v grafen spoléhejte na paradox Klein pro nehmotné částice.^[3][4]

Viz také

• Seznam paradoxů

Reference

Další čtení

• Dombey, N; Calogeracos, A. (červenec 1999). „Sedmdesát let Kleinova paradoxu“. Fyzikální zprávy. 315 (1–3): 41–58. Bibcode:1999PhR ... 315 ... 41D. doi:10.1016 / S0370-1573 (99) 00023-X.
• Robinson, T. R. (2012). „Na Kleinově tunelování v grafenu“. American Journal of Physics. 80 (2): 141–147. Bibcode:2012AmJPh..80..141R. doi:10.1119/1.3658629.
• Calogeracos, A .; Dombey, N. (1999). „Historie a fyzika Kleinova paradoxu“. Současná fyzika. 40 (5): 313. arXiv:quant-ph / 9905076. Bibcode:1999ConPh..40..313C. doi:10.1080/001075199181387.