Kinematické rovnice - Kinematics equations

Kinematické rovnice jsou omezující rovnice mechanického systému, jako je a robot manipulátor, který definuje, jak vstupní pohyb na jednom nebo více kloubech specifikuje konfiguraci zařízení, aby se dosáhlo polohy úkolu nebo umístění koncového efektoru.^[1][2] Kinematické rovnice se používají k analýze a návrhu kloubových systémů od čtyřbarevných vazeb po sériové a paralelní roboty.

Kinematické rovnice jsou rovnice omezení, které charakterizují geometrickou konfiguraci kloubového mechanického systému. Proto tyto rovnice předpokládají, že vazby jsou tuhé a spoje zajišťují čistou rotaci nebo posun. Rovnice omezení tohoto typu jsou známé jako holonomická omezení ve studiu dynamika systémů s více těly.

Smyčkové rovnice

Kinematické rovnice pro mechanický systém jsou tvořeny jako posloupnost tuhých transformací podél spojů a kolem kloubů v mechanickém systému. Princip, že posloupnost transformací kolem smyčky se musí vrátit do identity, poskytuje tzv smyčkové rovnice. Nezávislá sada kinematických rovnic je sestavena z různých sad smyčkových rovnic, které jsou k dispozici v mechanickém systému.

Transformace

V roce 1955 představili Jacques Denavit a Richard Hartenberg konvenci pro definici společných matic [Z] a spojovacích matic [X] pro standardizaci souřadnicových rámců pro prostorové vazby.^[3][4] Tato konvence umisťuje kloubový rám tak, aby sestával z posunutí šroubu podél osy Z.

${ displaystyle [Z_ {i}] = { začátek {bmatrix} cos theta _ {i} & - sin theta _ {i} & 0 & 0 sin theta _ {i} & cos theta _ {i} & 0 & 0 0 & 0 & 1 & d_ {i} 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}},}$

a umístí spojovací rám tak, že se skládá z posunutí šroubu podél osy X,

${ displaystyle [X_ {i}] = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_ {i, i + 1} 0 & cos alpha _ {i, i + 1} & - sin alpha _ {i, i +1} & 0 0 & sin alpha _ {i, i + 1} & cos alpha _ {i, i + 1} & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}.}$

Kinematické rovnice se získají pomocí a rigidní transformace [Z] charakterizovat relativní pohyb povoleno u každého kloub a oddělte tuhou transformaci [X], abyste definovali rozměry každého odkazu.

Výsledkem je posloupnost tuhých transformací střídajících transformace kloubů a vazeb ze základny řetězce kolem smyčky zpět do základny, aby se získala rovnice smyčky,

${ displaystyle [Z_ {1}] [X_ {1}] [Z_ {2}] [X_ {2}] ldots [X_ {n-1}] [Z_ {n}] = [já]. ! }$

Série transformací se rovná identifikační matici, protože se vracejí na začátek smyčky.

Sériové řetězy

Kinematické rovnice pro robota se sériovým řetězcem se získají formulováním smyčkových rovnic, pokud jde o transformaci [T] ze základny na koncový efektor, která se rovná řadě transformací podél robota. Výsledek je,

${ displaystyle [T] = [Z_ {1}] [X_ {1}] [Z_ {2}] [X_ {2}] ldots [X_ {n-1}] [Z_ {n}], ! }$

Tyto rovnice se nazývají kinematické rovnice sériového řetězce.

Paralelní řetězy

Kinematické rovnice pro paralelní řetězec nebo paralelní robot, vytvořené koncovým efektorem podporovaným více sériovými řetězci, se získají z kinematických rovnic každého z podpůrných sériových řetězců. Předpokládejme to m sériové řetězce podporují koncový efektor, poté je transformace ze základního na koncový efektor definována m rovnice,

${ displaystyle [T] = [Z_ {1, j}] [X_ {1, j}] [Z_ {2, j}] [X_ {2, j}] ldots [X_ {n-1, j} ] [Z_ {n, j}], quad j = 1, ldots, m. !}$

Tyto rovnice jsou rovnice kinematiky paralelního řetězce.

Dopředná kinematika

Na kinematické rovnice sériových a paralelních robotů lze pohlížet jako na související parametry, jako jsou úhly kloubů, které jsou pod kontrolou akčních členů s polohou a orientací [T] koncového efektoru.

Z tohoto hlediska lze kinematické rovnice použít dvěma různými způsoby. První zavolal dopředná kinematika používá zadané hodnoty pro parametry kloubu k výpočtu polohy a orientace koncového efektoru. Volal druhý inverzní kinematika používá polohu a orientaci koncového efektoru k výpočtu hodnot parametrů spoje.

Je pozoruhodné, že zatímco přímá kinematika sériového řetězce je přímým výpočtem jedné maticové rovnice, přímá kinematika paralelního řetězce vyžaduje simultánní řešení více rovnic matice, což představuje významnou výzvu.

Reference