Kalman – Jakubovič – Popov lemma - Kalman–Yakubovich–Popov lemma

The Kalman – Jakubovič – Popov lemma je výsledkem v systémová analýza a teorie řízení který uvádí: Vzhledem k číslu ${displaystyle gamma> 0}$, dva n-vektory B, C a n x n Hurwitzova matice A, pokud je pár ${displaystyle (A, B)}$ je úplně ovladatelný, pak symetrická matice P a vektor Q vyhovující

${displaystyle A ^ {T} P + PA = -QQ ^ {T}}$

${displaystyle PB-C = {sqrt {gamma}} Q}$

existují právě tehdy

${displaystyle gamma + 2Re [C ^ {T} (jomega I-A) ^ {- 1} B] geq 0}$

Navíc sada ${displaystyle {x: x ^ {T} Px = 0}}$ je nepozorovatelný podprostor pro pár ${displaystyle (C, A)}$.

Lema lze chápat jako zobecnění Lyapunovova rovnice v teorii stability. Vytváří vztah mezi a lineární maticová nerovnost zahrnující státní prostor konstrukty A, B, C a podmínka v frekvenční doména.

Kalman – Popov – Yakubovichovo lemma, které bylo poprvé formulováno a prokázáno v roce 1962 autorem Vladimir Andreevich Yakubovich^[1] kde bylo uvedeno, že pro striktní frekvenční nerovnost. Byl publikován případ nestrikční frekvenční nerovnosti v roce 1963 Rudolf E. Kalman.^[2] V tomto článku byl také stanoven vztah k řešitelnosti Lur'ových rovnic. Oba dokumenty uvažovaly o skalárních vstupních systémech. Omezení dimenze kontroly bylo odstraněno v roce 1964 Gantmakherem a Yakubovichem^[3] a nezávisle na Vasile Mihai Popov.^[4] Rozsáhlou recenzi tématu najdete v.^[5]

Více proměnná Kalman – Yakubovich – Popov lemma

Dáno ${displaystyle Ain mathbb {R} ^ {n imes n}, Bin mathbb {R} ^ {n imes m}, M = M ^ {T} v mathbb {R} ^ {(n + m) imes (n + m )}}$ s ${displaystyle det (jomega I-A) ekv. 0}$ pro všechny ${displaystyle omega in mathbb {R}}$ a ${displaystyle (A, B)}$ ovladatelné, ekvivalentní jsou následující:

1. pro všechny ${displaystyle omega in mathbb {R} cup {infty}}$

   ${displaystyle left [{egin {matrix} (jomega IA) ^ {- 1} B Iend {matrix}} ight] ^ {*} Mleft [{egin {matrix} (jomega IA) ^ {- 1} B Iend {matrix}} ight] leq 0}$

2. existuje matice ${displaystyle Pin mathbb {R} ^ {n imes n}}$ takhle ${displaystyle P = P ^ {T}}$ a

   ${displaystyle M + left [{egin {matrix} A ^ {T} P + PA & PB B ^ {T} P & 0end {matrix}} ight] leq 0.}$

Odpovídající ekvivalence pro přísné nerovnosti platí, i když ${displaystyle (A, B)}$ není ovladatelný. ^[6]

Reference

B. Brogliato, R. Lozano, M. Maschke, O. Egeland, Analýza a řízení disipativních systémů, Springer Nature Switzerland AG, 3. vydání, 2020 (kapitola 3, str. 81-262), ISBN 978-3-030-19419-2