Königsova věta (kinetika) - Königs theorem (kinetics) - Wikipedia

v kinetika, Königova věta nebo Königův rozklad je matematický vztah odvozený od Johann Samuel König který pomáhá s výpočty momentu hybnosti a kinetické energie těles a systémů částic.

Pro soustavu částic

Věta je rozdělena do dvou částí.

První část Königovy věty

První část vyjadřuje moment hybnosti systému jako součet moment hybnosti z těžiště a moment hybnosti aplikován na částice vzhledem k těžiště. ^[1]

${ displaystyle displaystyle { vec {L}} = { vec {r}} _ {CoM} krát součet limity _ {i} m_ {i} { vec {v}} _ {CoM} + { vec {L}} '= { vec {L}} _ {CoM} + { vec {L}}'}$

Důkaz

Vzhledem k tomu setrvačný referenční rámec s původem O, moment hybnosti systému lze definovat jako:

${ displaystyle { vec {L}} = součet limity _ {i} ({ vec {r}} _ {i} krát m_ {i} { vec {v}} _ {i})}$

Pozici jedné částice lze vyjádřit jako:

${ displaystyle { vec {r}} _ {i} = { vec {r}} _ {CoM} + { vec {r}} '_ {i}}$

Můžeme tedy definovat rychlost jedné částice:

${ displaystyle { vec {v}} _ {i} = { vec {v}} _ {CoM} + { vec {v}} '_ {i}}$

První rovnice se stává:

${ displaystyle { vec {L}} = součet limity _ {i} ({ vec {r}} _ {CoM} + { vec {r}} '_ {i}) krát m_ {i } ({ vec {v}} _ {CoM} + { vec {v}} '_ {i})}$

${ displaystyle { vec {L}} = součet limity _ {i} { vec {r}} '_ {i} krát m_ {i} { vec {v}}' _ {i} + left ( sum limits _ {i} m_ {i} { vec {r}} '_ {i} right) times { vec {v}} _ {CoM} + { vec {r} } _ {CoM} times sum limits _ {i} m_ {i} { vec {v}} '_ {i} + sum limity _ {i} { vec {r}} _ {CoM } krát m_ {i} { vec {v}} _ {CoM}}$

Ale následující výrazy se rovnají nule:

${ displaystyle sum limity _ {i} m_ {i} { vec {r}} '_ {i} = 0}$

${ displaystyle sum limity _ {i} m_ {i} { vec {v}} '_ {i} = 0}$

Dokazujeme tedy, že:

${ displaystyle { vec {L}} = součet limity _ {i} { vec {r}} '_ {i} krát m_ {i} { vec {v}}' _ {i} + M { vec {r}} _ {CoM} krát { vec {v}} _ {CoM}}$

kde M je součet Hmotnost systému.

Druhá část Königovy věty

Druhá část vyjadřuje Kinetická energie soustavy částic z hlediska rychlostí jednotlivých částic a těžiště.

Konkrétně uvádí, že Kinetická energie soustavy částic je součet Kinetická energie spojené s pohybem těžiště a Kinetická energie spojené s pohybem částic vzhledem k těžiště.^[2]

${ displaystyle K = K '+ K _ { text {CoM}}}$

Důkaz

Celkem Kinetická energie systému je:

${ displaystyle K = sum _ {i} { frac {1} {2}} m_ {i} v_ {i} ^ {2}}$

Stejně jako v první části dosadíme rychlost:

${ displaystyle K = sum _ {i} { frac {1} {2}} m_ {i} ({ bar {v}} '_ {i} + { bar {v}} _ { text {CoM}}) ^ {2}}$

${ displaystyle K = sum _ {i} { frac {1} {2}} m_ {i} ({ bar {v}} '_ {i} + { bar {v}} _ { text {CoM}}) cdot ({ bar {v}} '_ {i} + { bar {v}} _ { text {CoM}}) = sum _ {i} { frac {1} {2}} m_ {i} {v '_ {i}} ^ {2} + { bar {v}} _ { text {CoM}} cdot sum _ {i} m_ {i} { lišta {v}} '_ {i} + sum _ {i} { frac {1} {2}} m_ {i} v _ { text {CoM}} ^ {2}}$

Víme, že ${ displaystyle { bar {v}} _ {CoM} cdot sum _ {i} m_ {i} { bar {v}} '_ {i} = 0,}$ pokud tedy definujeme:

${ displaystyle K '= sum _ {i} { frac {1} {2}} m_ {i} {v' _ {i}} ^ {2}}$

${ displaystyle K _ { text {CoM}} = součet _ {i} { frac {1} {2}} m_ {i} v _ { text {CoM}} ^ {2} = { frac {1 } {2}} Mv _ { text {CoM}} ^ {2}}$

nám zbývá:

${ displaystyle K = K '+ K _ { text {CoM}}}$

Pro tuhé tělo

Věta může být také použita tuhá tělesa, říkat, že kinetická energie K tuhého tělesa, jak je viděn pozorovatelem, fixovaná v nějaké setrvačnosti referenční rámec N, lze psát jako:

${ displaystyle ^ {N} K = { frac {1} {2}} m cdot {^ {N} mathbf { bar {v}}} cdot {^ {N} mathbf { bar { v}}} + { frac {1} {2}} {^ {N} ! mathbf { bar {H}}} cdot ^ {N} {! ! mathbf { omega}} ^ {R}}$

kde ${ displaystyle {m}}$ je hmotnost tuhého tělesa; ${ displaystyle {^ {N} mathbf { bar {v}}}}$ je rychlost těžiště tuhého tělesa z pohledu pozorovatele upevněného v setrvačném rámu N; ${ displaystyle {^ {N} ! mathbf { bar {H}}}}$ je moment hybnosti tuhého tělesa kolem těžiště, rovněž zachyceno v setrvačném rámu N; a ${ displaystyle ^ {N} {! ! mathbf { omega}} ^ {R}}$ je úhlová rychlost tuhého tělesa R vzhledem k setrvačnému rámu N.^[3]

Reference

• Hanno Essén: Průměrná úhlová rychlost (1992), Department of Mechanics, Royal Institute of Technology, S-100 44 Stockholm, Sweden.
• Samuel König (Sam. Koenigio): De universali principio æquilibrii & motus, in vi viva reperto, deque nexu inter vim vivam & actionem, utriusque minimo, dissertatio, Nova acta eruditorum (1751) 125-135, 162-176 (Archivováno ).
• Paul A. Tipler and Gene Mosca (2003), Physics for Scientists and Engineers (Paper): Volume 1A: Mechanics (Physics for Scientists and Engineers), W. H. Freeman Ed., ISBN  0-7167-0900-7

Citované práce

Tento fyzika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.