Königsova věta (komplexní analýza) - Königs theorem (complex analysis) - Wikipedia

v komplexní analýza a numerická analýza, Königova věta,^[1] pojmenoval podle maďarského matematika Gyula Kőnig, dává způsob, jak odhadnout jednoduché póly nebo jednoduché kořeny funkce. Zejména má řadu aplikací v algoritmy hledání kořenů jako Newtonova metoda a jeho zobecnění Metoda domácnosti.

Prohlášení

Vzhledem k meromorfní funkce definováno dne ${ displaystyle | x |$:

${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} x ^ {n}, qquad c_ {0} neq 0.}$

který má pouze jeden jednoduchý pól ${ displaystyle x = r}$ na tomto disku. Pak

${ displaystyle { frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} = r + o ( sigma ^ {n + 1}),}$

kde ${ displaystyle 0 < sigma <1}$ takhle ${ displaystyle | r | < sigma R}$. Zejména máme

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} = r.}$

Intuice

Odvolej to

${ displaystyle { frac {C} {xr}} = - { frac {C} {r}} , { frac {1} {1-x / r}} = - { frac {C} { r}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left [{ frac {x} {r}} right] ^ {n},}$

který má poměr koeficientů rovný ${ displaystyle { frac {1 / r ^ {n}} {1 / r ^ {n + 1}}} = r.}$

Kolem jeho jednoduchého pólu funkce ${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} x ^ {n}}$ se bude lišit od geometrické řady a projeví se to také v koeficientech ${ displaystyle f}$.

Jinými slovy, blízko x = r očekáváme, že funkci bude dominovat pól, tj.

${ displaystyle f (x) přibližně { frac {C} {x-r}},}$

aby ${ displaystyle { frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} přibližně r}$.

Reference