Johnsonův parabolický vzorec - Johnsons parabolic formula - Wikipedia

Graf Johnsonovy paraboly (vykreslený červeně) proti Eulerovu vzorci s vyznačeným přechodovým bodem. Oblast nad křivkou označuje poruchu. Johnsonova parabola vytváří novou oblast selhání.

v pozemní stavitelství, Johnsonův parabolický vzorec je empiricky založená rovnice pro výpočet kritického vzpěr stres a sloupec. Vzorec je založen na experimentálních výsledcích od J. B. Johnson od roku 1900 jako alternativa k Eulerovo kritické zatížení vzorec pod nízkou poměr štíhlosti (poměr poloměr kroužení na efektivní délku). Rovnice interpoluje mezi mez kluzu materiálu na kritické vzpěrné napětí dané Eulerovým vzorcem vztahující se k poměru štíhlosti k napětí potřebnému k vybočení sloupu.

Vzpěr označuje a způsob selhání ve kterém konstrukce ztrácí stabilitu. Je to způsobeno nedostatečnou strukturální tuhostí.^[1] Uložení břemene na dlouhou štíhlou tyč může způsobit selhání boulení, než může dojít k selhání vzorku při stlačení.^[2]

Johnson Parabola

Eulersův vzorec pro vzpěr štíhlého sloupce udává kritickou úroveň napětí, která způsobí vzpěr, ale zohledňuje režimy selhání materiálu, jako je výtěžek, u kterého bylo prokázáno, že snižuje kritické vzpěrné napětí. Johnsonův vzorec interpoluje mezi mezem kluzu materiálu kolony a kritickým napětím daným Eulerovým vzorcem. Vytvoří novou hranici selhání přizpůsobením paraboly grafu selhání pro Eulerovu vzpěru pomocí

${ displaystyle sigma _ {cr} = sigma _ {y} - {1 přes E} { doleva ({ frac { sigma _ {y}} {2 pi}} doprava)} ^ { 2} { left ({ frac {l} {k}} right)} ^ {2}}$

Na grafu Eulerovy křivky je bod přechodu, který se nachází v kritickém poměru štíhlosti. Při hodnotách štíhlosti nižších než tento bod (vyskytujících se u vzorků s relativně krátkou délkou ve srovnání s jejich průřezem) bude graf sledovat Johnsonovu parabolu; na rozdíl od toho se větší hodnoty štíhlosti blíže vyrovnají Eulerově rovnici.

Eulerův vzorec je

${ displaystyle sigma _ {cr} = {P_ {cr} nad A} = { pi ^ {2} EI nad AL_ {e} ^ {2}} = { pi ^ {2} E nad left ({ frac {l} {k}} right) ^ {2}}}$

kde

${ displaystyle sigma _ {cr} =}$ kritický stres,

${ displaystyle P_ {cr} =}$ kritická síla,

${ displaystyle A =}$ plocha průřezu,

${ displaystyle L_ {e} =}$ Efektivní délka prutu,

${ displaystyle E =}$ modul pružnosti,

${ displaystyle I =}$ plošný moment setrvačnosti průřezu tyče,

${ displaystyle {l nad k}}$ = poměr štíhlosti.

Eulerova rovnice je užitečná v situacích, jako je ideální připnutý-připnutý sloupec, nebo v případech, kdy lze efektivní délku použít k úpravě existujícího vzorce (tj. Fixed-Free).^[3]

	Připnutý-Připnutý	Pevné-Pevné	Pevně ​​připnuté	Fixed-Free
Efektivní délka, ${ displaystyle L_ {e}}$	1L	0,5 l	0,7 l	2L

(L je původní délka vzorku před použitím síly.)

Určité geometrie však nejsou Eulerovým vzorcem přesně reprezentovány. Jednou z proměnných ve výše uvedené rovnici, která odráží geometrii vzorku, je poměr štíhlosti, což je délka sloupu dělená poloměrem gyrace.^[4]

Poměr štíhlosti je indikátorem odolnosti vzorku proti ohybu a vzpěru díky jeho délce a průřezu. Pokud je poměr štíhlosti menší než kritický poměr štíhlosti, považuje se sloup za krátký sloupec. V těchto případech je Johnsonova parabola použitelnější než Eulerův vzorec.^[5]Poměr štíhlosti prutu lze najít pomocí ${ displaystyle left ({ frac {l} {k}} right) = L_ {e} { sqrt {A over I}}}$

Poměr kritické štíhlosti je

${ displaystyle left ({ frac {l} {k}} right) _ {cr} = { sqrt {2 pi ^ {2} E over sigma _ {y}}}}$

Příklad

Graf obou Eulerových a Johnsonových vzorců pro Al 2024. Bod přechodu nastává při kritickém poměru štíhlosti.

Jedním běžným materiálem v leteckém průmyslu je Al 2024. Určité materiálové vlastnosti Al 2024 byly stanoveny experimentálně, jako je mez kluzu v tahu (324 MPa) a modul pružnosti (73,1 GPa). ^[6] Eulerův vzorec by mohl být použit k vykreslení křivky selhání, ale pod určitou by to nebylo přesné ${ displaystyle { frac {l} {k}}}$ hodnota, poměr kritické štíhlosti.

${ displaystyle { left ({ frac {l} {k}} right)} _ {cr} = { sqrt {2 pi ^ {2} E over sigma _ {y}}} = { sqrt { frac {2 pi ^ {2} krát 73,1 krát 10 ^ {9}} {324 krát 10 ^ {6}}}} = 66,7}$

Proto je Eulerova rovnice použitelná pro hodnoty ${ displaystyle { frac {l} {k}}}$ větší než 66,7.

Euler: ${ displaystyle sigma _ {cr} = { pi ^ {2} E přes doleva ({ frac {l} {k}} doprava) ^ {2}} = { pi ^ {2} krát 73,1 krát 10 ^ {9} přes doleva ({ frac {l} {k}} doprava) ^ {2}}}$ pro ${ displaystyle { frac {l} {k}}> 66,7}$

(jednotky v Pascalech)

Johnsonova parabola se stará o menší ${ displaystyle { frac {l} {k}}}$ hodnoty.

Johnson: ${ displaystyle sigma _ {cr} = sigma _ {y} - {1 přes E} { doleva ({ frac { sigma _ {y}} {2 pi}} doprava)} ^ { 2} { left ({ frac {l} {k}} right)} ^ {2} = 324 krát 10 ^ {6} - {1 přes 73,1 krát 10 ^ {9}} { vlevo ({ frac {324 krát 10 ^ {6}} {2 pi}} vpravo)} ^ {2} { vlevo ({ frac {l} {k}} vpravo)} ^ {2} }$ pro ${ displaystyle 0 leq { frac {l} {k}} leq 66,7}$

(jednotky v Pascalech)

Reference