Nepřímá Fourierova transformace - Indirect Fourier transform
V Fourierova transformace (FT), Fourierova transformovaná funkce se získává z podle:
kde je definován jako . lze získat z inverzní FT:
a jsou inverzní proměnné, např. frekvence a čas.
Získávání to přímo vyžaduje je dobře známo z na , naopak. Ve skutečných experimentálních datech tomu tak je zřídka kvůli šumu a omezenému měřenému rozsahu je známo z na . Provádění FT na v omezeném rozsahu může vést k systematickým chybám a nadměrnému vybavení.
Řešení tohoto problému je nepřímá Fourierova transformace (IFT).
Nepřímá Fourierova transformace v malém úhlovém rozptylu
v malý úhel rozptylu na jednotlivých molekulách, intenzita se měří a je funkcí velikosti vektoru rozptylu , kde je rozptýlený úhel a je vlnová délka přicházejícího a rozptýleného paprsku (elastický rozptyl ). má jednotky 1 / délka. souvisí s tzv funkce rozdělení vzdálenosti párů prostřednictvím Fourierovy transformace. je (rozptyl vážený) histogram vzdáleností mezi páry atomů v molekule. V jedné dimenzi ( a jsou skaláry ), a souvisí:
kde je úhel mezi a , a je hustota počtu molekul v měřeném vzorku. Vzorek je orientačně zprůměrován (označen ) a Debyeho rovnice [1] lze tedy využít ke zjednodušení vztahů pomocí
V roce 1977 Glatter navrhl získání metody IFT formulář ,[2] ao tři roky později Moore představil alternativní metodu.[3] Jiní později zavedli alternativní a automatizované metody pro IFT,[4] a automatizoval proces [5][6]
Glatterova metoda IFT
Toto je stručný nástin metody, kterou představil Otto Glatter.[2] Pro jednoduchost používáme v následujícím.
V nepřímé Fourierově transformaci je odhad největší vzdálenosti v částice je uvedena funkce počáteční distribuce vzdálenosti je vyjádřena jako součet krychlový funkce spline rovnoměrně rozložené na intervalu (0,):
(1)
kde jsou skalární koeficienty. Vztah mezi intenzitou rozptylu a je:
(2)
Vkládání výrazu pro stri(r) (1) do (2) a pomocí toho transformace z na je lineární dává:
kde je uveden jako:
The Pod lineární Fourierovou transformací se nezmění a lze je přizpůsobit datům, čímž se získají koeficienty . Vložení těchto nových koeficientů do výrazu pro dává finále . Koeficienty jsou vybrány tak, aby minimalizovaly fit, dané:
kde je počet datových bodů a je směrodatná odchylka v datovém bodě . Problém s montáží je špatně pózoval a velmi oscilující funkce by dala nejnižší navzdory tomu, že je fyzicky nereálný. Proto je funkce hladkosti se zavádí:
- .
Čím větší oscilace, tím vyšší . Místo minimalizace , Lagrangian je minimalizován, kde Lagrangeův multiplikátor je označen parametr hladkosti. Metoda je nepřímá v tom smyslu, že FT se provádí v několika krocích: .
Reference
- ^ P. Scardi, S. J. L. Billinge, R. Neder a A. Cervellino (2016). „Oslava 100 let rovnice rozptylu Debye“. Acta Crystallogr A. 72 (6): 589–590. doi:10.1107 / S2053273316015680.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ A b O. Glatter (1977). "Nová metoda pro vyhodnocení dat o malém úhlu rozptylu". Journal of Applied Crystallography. 10 (5): 415–421. doi:10.1107 / s0021889877013879.
- ^ P.B. Moore (1980). "Malý úhel rozptylu. Informační obsah a analýza chyb". Journal of Applied Crystallography. 13 (2): 168–175. doi:10,1107 / s002188988001179x.
- ^ S. Hansen, J.S. Pedersen (1991). „Srovnání tří různých metod pro analýzu dat malého rozptylu“. Journal of Applied Crystallography. 24 (5): 541–548. doi:10.1107 / s0021889890013322.
- ^ B. Vestergaard a S. Hansen (2006). "Aplikace Bayesovské analýzy na nepřímou Fourierovu transformaci v malém úhlu rozptylu". Journal of Applied Crystallography. 39 (6): 797–804. doi:10.1107 / S0021889806035291.
- ^ Petoukhov M. V. a Franke D. a Shkumatov A. V. a Tria G. a Kikhney A. G. a Gajda M. a Gorba C. a Mertens H. D. T. a Konarev P. V. a Svergun D. I. (2012). „Nový vývoj v programovém balíčku ATSAS pro analýzu dat s malým rozptylem“. Journal of Applied Crystallography. 45 (2): 342–350. doi:10.1107 / S0021889812007662. PMC 4233345. PMID 25484842.