Hrushovského konstrukce - Hrushovski construction

v teorie modelů, pobočka matematická logika, Hrushovského konstrukce zobecňuje Limit Fraïssé prací s pojmem silná spodní konstrukce ${ displaystyle leq}$ spíše než ${ displaystyle subseteq}$. Lze jej považovat za druh „modelovo-teoretického vynucování“, kde se vytváří (obvykle) stabilní struktura, která se nazývá obecný nebo bohatý ^[1] Modelka. Specifika ${ displaystyle leq}$ určit různé vlastnosti generika, přičemž jeho geometrické vlastnosti jsou zvláště zajímavé. To bylo původně používáno Ehud Hrushovski generovat stabilní strukturu s „exotickou“ geometrií, čímž vyvrátit Zil'berovu domněnku.

Tři dohady

Počáteční aplikace Hrushovského konstrukce vyvrátily dva dohady a na třetí otázku odpověděly záporně. Konkrétně máme:

• Lachlanův dohad. Jakákoli stabilní ${ displaystyle aleph _ {0}}$-kategorická teorie je naprosto transcendentální.^[2]

• Zil'berova domněnka. Jakákoli nespočetně kategorická teorie je buď lokálně modulární, nebo interpretuje algebraicky uzavřené pole.^[3]

• Cherlinova otázka. Existuje maximální (s ohledem na expanze) silně minimální soubor?

Konstrukce

Nechat L být konečným relačním jazykem. Opravit C třída konečný L-struktury, které jsou uzavřeny pod izomorfismy a konstrukcemi. Chceme posílit představu spodní stavby; nechat ${ displaystyle leq}$ být vztahem na párech z C uspokojující:

• ${ displaystyle A leq B}$ naznačuje ${ displaystyle A subseteq B.}$
• ${ displaystyle A subseteq B subseteq C}$ a ${ displaystyle A leq C}$ naznačuje ${ displaystyle A leq B}$
• ${ displaystyle varnothing leq A}$ pro všechny ${ displaystyle A in mathbf {C}.}$
• ${ displaystyle A leq B}$ naznačuje ${ displaystyle A cap C leq B cap C}$ pro všechny ${ displaystyle C in mathbf {C}.}$
• Li ${ displaystyle f dvojtečka A až A '}$ je izomorfismus a ${ displaystyle A leq B}$, pak ${ displaystyle f}$ sahá až k izomorfismu ${ displaystyle B až B '}$ pro nějakou nadmnožinu ${ displaystyle B}$ s ${ displaystyle A ' leq B'.}$

Definice. Vložení ${ displaystyle f: A hookrightarrow D}$ je silný -li ${ displaystyle f (A) leq D.}$

Definice. Dvojice ${ displaystyle ( mathbf {C}, leq)}$ má sloučení majetku -li ${ displaystyle A leq B_ {1}, B_ {2}}$ pak existuje ${ displaystyle D in mathbf {C}}$ takže každý ${ displaystyle B_ {i}}$ silně vloží do ${ displaystyle D}$ se stejným obrázkem pro ${ displaystyle A.}$

Definice. Pro nekonečno ${ displaystyle D}$ a ${ displaystyle A in mathbf {C},}$ říkáme ${ displaystyle A leq D}$ iff ${ displaystyle A leq X}$ pro ${ displaystyle A subseteq X subseteq D, X v mathbf {C}.}$

Definice. Pro všechny ${ displaystyle A subseteq D,}$ the uzavření z ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle D,}$ označeno ${ displaystyle operatorname {cl} _ {D} (A),}$ je nejmenší nadmnožina ${ displaystyle A}$ uspokojující ${ displaystyle operatorname {cl} (A) leq D.}$

Definice. Počitatelná struktura ${ displaystyle G}$ je ${ displaystyle ( mathbf {C}, leq)}$-obecný li:

• Pro ${ displaystyle A subseteq _ { omega} G, A in mathbf {C}.}$

• Pro ${ displaystyle A leq G,}$ -li ${ displaystyle A leq B}$ pak je zde silné zakotvení ${ displaystyle B}$ do ${ displaystyle G}$ přes ${ displaystyle A.}$

• ${ displaystyle G}$ má konečné uzávěry: pro každého ${ displaystyle A subseteq _ { omega} G, operatorname {cl} _ {G} (A)}$ je konečný.

Teorém. Li ${ displaystyle ( mathbf {C}, leq)}$ má vlastnost sloučení, pak existuje jedinečná ${ displaystyle ( mathbf {C}, leq)}$-obecný.

Důkaz existence probíhá napodobováním důkazu existence pro limity Fraïssé. Důkaz jedinečnosti vychází z jednoduchého argumentu tam a zpět.

Reference