Hopfieldovo dielektrikum - Hopfield dielectric

Hopfield dielektrikum - v kvantová mechanika model dielektrikum skládající se z kvantové harmonické oscilátory interakce s režimy režimu kvantové elektromagnetické pole. Kolektivní interakce režimů polarizace náboje s vakuovými buzeními, fotony vede k narušení obou lineárních disperzní vztah fotonů a neustálý rozptyl nábojových vln pomocí vyhnul se křížení mezi dvěma rozptylovými řádky polaritony.^[1] Podobně jako akustické a optické fonony a daleko od rezonance je jedna větev fotonová, zatímco druhá nábojová vlna. Matematicky je Hopfieldovo dielektrikum pro jeden způsob buzení ekvivalentní Paket trojských vln v harmonikaproximaci. Hopfieldův model dielektrika předpovídá existenci věčně uvězněných zmrazených fotonů podobných Hawkingovo záření uvnitř hmoty s hustotou úměrnou síle vazby pole hmoty.

Teorie

Hamiltonián kvantovaného Lorentzova dielektrika sestávající z ${ displaystyle N}$ harmonické oscilátory interagující s kvantovým elektromagnetickým polem lze v dipólové aproximaci zapsat jako:

${ displaystyle H = sum limity _ {A = 1} ^ {N} {{p_ {A}} ^ {2} nad 2m} + {{m { omega} ^ {2}} nad 2 } {x_ {A}} ^ {2} -e {x_ {A}} cdot E (r_ {A}) + sum limity _ { lambda = 1} ^ {2} int d ^ {3 } ka _ { lambda k} ^ {+} a _ { lambda k} hbar ck}$

kde

${ displaystyle E (r_ {A}) = {i nad L ^ {3}} součet limity _ { lambda = 1} ^ {2} int d ^ {3} k [{{ck} nad {2 epsilon _ {0}}}] ^ {1 nad 2} [e _ { lambda} (k) a _ { lambda} (k) exp (ikr_ {A}) - HC]}$

je operátor elektrického pole působící v dané poloze ${ displaystyle r_ {A}}$.

Vyjádříme to z hlediska vytvoření a vyhlazení operátorů pro harmonické oscilátory, které dostaneme

${ displaystyle H = sum limity _ {A = 1} ^ {N} (a_ {A} ^ {+} cdot a_ {A}) hbar omega - {e over {{ sqrt {2 }} beta}} (a_ {A} + {a_ {A}} ^ {+}) cdot E (r_ {A}) + sum _ { lambda} sum _ {k} a _ { lambda k} ^ {+} a _ { lambda k} hbar ck}$

Za předpokladu, že oscilátory jsou na nějakém pravidelném pevný mřížka a aplikace polaritické Fourierovy transformace

${ displaystyle B_ {k} ^ {+} = {1 nad { sqrt {N}}} součet limity _ {A = 1} ^ {N} exp (ikr_ {A}) a_ {A} ^ {+},}$

${ displaystyle B_ {k} = {1 nad { sqrt {N}}} součet limity _ {A = 1} ^ {N} exp (-ikr_ {A}) a_ {A}}$

a definování projekcí nábojových vln oscilátoru na směry polarizace elektromagnetického pole

${ displaystyle B _ { lambda k} ^ {+} = e _ { lambda} (k) cdot B_ {k} ^ {+}}$

${ displaystyle B _ { lambda k} = e _ { lambda} (k) cdot B_ {k},}$

po upuštění podélných příspěvků neinteragujících s elektromagnetickým polem lze získat Hopfieldův Hamiltonian

${ displaystyle H = součet _ { lambda} součet _ {k} (B _ { lambda k} ^ {+} B _ { lambda k} + {1 nad 2}) hbar omega + hbar cka _ { lambda k} ^ {+} a _ { lambda k} + {ie hbar over { sqrt { epsilon _ {0} m omega}}} { sqrt {N over V}} { sqrt {ck}} [B _ { lambda k} a _ { lambda -k} + B _ { lambda k} ^ {+} a _ { lambda k} -B _ { lambda k} ^ {+} a_ { lambda -k} ^ {+} - B _ { lambda k} a _ { lambda k} ^ {+}]}$

Protože interakce nesměšuje polarizace, lze ji transformovat do normální formy s vlastními frekvencemi dvou polaritických větví:

${ displaystyle H = součet _ { lambda} součet _ {k} vlevo [ Omega _ {+} (k) C _ { lambda + k} ^ {+} C _ { lambda + k} + Omega _ {-} (k) C _ { lambda -k} ^ {+} C _ { lambda -k} right] + const}$

s rovnicí vlastních čísel

${ displaystyle [C _ { lambda pm k}, H] = Omega _ { pm} (k) C _ { lambda pm k}}$

${ displaystyle C _ { lambda pm k} = c_ {1} a _ { lambda k} + c_ {2} a _ { lambda -k} + c_ {3} a _ { lambda k} ^ {+} + c_ {4} a _ { lambda -k} ^ {+} + c_ {5} B _ { lambda k} + c_ {6} B _ { lambda -k} + c_ {7} B _ { lambda k} ^ {+} + c_ {8} B _ { lambda -k} ^ {+}}$

kde

${ displaystyle Omega _ {-} (k) ^ {2} = { omega ^ {2} + Omega ^ {2} - { sqrt {{( omega ^ {2} - Omega ^ {2 })} ^ {2} +4 {g} omega ^ {2} Omega ^ {2}}} nad 2},}$

${ displaystyle Omega _ {+} (k) ^ {2} = { omega ^ {2} + Omega ^ {2} + { sqrt {{( omega ^ {2} - Omega ^ {2 })} ^ {2} +4 {g} omega ^ {2} Omega ^ {2}}} nad 2}}$,

s

${ displaystyle Omega (k) = ck,}$

(vakuová fotonová disperze) a

${ displaystyle g = {{Ne ^ {2}} nad {Vm epsilon _ {0} omega ^ {2}}}}$

je bezrozměrná spojovací konstanta úměrná hustotě ${ displaystyle N / V}$ dielektrika s Lorentzovou frekvencí ${ displaystyle omega}$ (pevně vázaný Je možné si všimnout, že na rozdíl od vakua elektromagnetického pole bez ohledu na očekávanou hodnotu průměrného počtu fotonů ${ displaystyle }$ je nenulová v základním stavu polaritického hamiltoniánu${ displaystyle C_ {k pm} | mathbf {0}> = 0}$ podobně jako Hawkingovo záření v sousedství Černá díra kvůli Unruh-Daviesův efekt. Lze si snadno všimnout, že nižší vlastní frekvence ${ displaystyle Omega _ {-}}$ stane se imaginární, když se vazebná konstanta stane kritickou ${ displaystyle g> 1}$ což naznačuje, že Hopfieldovo dielektrikum projde superradiantní fázový přechod.

Reference