Paradox Hoopers - Hoopers paradox - Wikipedia

Hooperův paradox

Hooperův paradox je falešný paradox na základě optické iluze. Geometrický tvar s oblastí 32 jednotek je rozdělen na čtyři části, které se poté sestaví do obdélníku s oblastí pouze 30 jednotek.

Vysvětlení

vysvětlení Hooperova paradoxu, hnědý rovnoběžník je překrývající se oblast dvou trojúhelníků

Při bližším pohledu si můžete všimnout, že trojúhelníky členitého tvaru nejsou totožné s trojúhelníky v obdélníku. Délka kratší strany v pravém úhlu měří 2 jednotky v původním tvaru, ale pouze 1,8 jednotek v obdélníku. To znamená, že skutečné trojúhelníky původního tvaru se v obdélníku překrývají. Překrývající se oblastí je rovnoběžník, jehož úhlopříčky a strany lze vypočítat pomocí Pythagorova věta.

${ displaystyle d_ {1} = { sqrt {2 ^ {2} + 1 ^ {2}}} = { sqrt {5}}}$

${ displaystyle d_ {2} = { sqrt {3 ^ {2} + 10 ^ {2}}} = { sqrt {109}}}$

${ displaystyle s_ {1} = { sqrt {2 ^ {2} + 6 ^ {2}}} = { sqrt {40}}}$

${ displaystyle s_ {2} = { sqrt {1 ^ {2} + 4 ^ {2}}} = { sqrt {17}}}$

Plochu tohoto rovnoběžníku lze určit pomocí Heronův vzorec pro trojúhelníky. To přináší

${ displaystyle s = { frac {d_ {1} + s_ {1} + s_ {2}} {2}} = { frac {{ sqrt {5}} + { sqrt {17}} + { sqrt {40}}} {2}}}$

pro poloviční obvod trojúhelníku (polovina rovnoběžníku) as tím pro plochu rovnoběžníku

${ displaystyle { begin {zarovnáno} F & = 2 cdot { sqrt {s cdot (s-s_ {1}) cdot (s-s_ {2}) cdot (s-d_ {1})} } [5pt] & = 2 cdot { frac {1} {4}} cdot { sqrt {({ sqrt {5}} + { sqrt {17}} + { sqrt {40} }) cdot (- { sqrt {5}} + { sqrt {17}} + { sqrt {40}}) cdot ({ sqrt {5}} - { sqrt {17}} + { sqrt {40}}) cdot ({ sqrt {5}} + { sqrt {17}} - { sqrt {40}})}}} [5pt] & = 2 cdot { frac { 1} {4}} cdot { sqrt {16}} [5pt] & = 2 end {zarovnáno}}}$.

Překrývající se oblast dvou trojúhelníků tedy přesně odpovídá zmizené oblasti 2 jednotek.

Dějiny

William Hooper publikoval paradox 1774 ve své knize Racionální rekreace ve kterém to pojmenoval Geometrické peníze. Vydání jeho knihy z roku 1774 stále obsahovalo falešnou kresbu, která byla ve vydání z roku 1782 opravena. Hooper však nebyl první, kdo publikoval tento geometrický klam, protože Hooperova kniha byla z velké části adaptací Edmé-Gilles Guyot je Nouvelles récréations physiques et mathétiques, který byl vydán ve Francii v roce 1769. Popis v této knize obsahuje stejnou falešnou kresbu jako v Hooperově knize, ale byla opravena i v pozdějším vydání.

Reference

• Martin Gardner: Matematika, magie a tajemství. Courier (Dover), 1956, ISBN  9780486203355, S. 129–155
• Greg N. Frederickson: Pitvy: Letadlo a fantazie. Cambridge University Press, 2003, ISBN  9780521525824, kapitola 23, s. 268–277, zejména s. 271–274 (online aktualizace ke kapitole 23 )
• Simon Během: Moderní kouzla: Kulturní síla světské magie. Harvard University Press, 2004, ISBN  978-0674013711, str. 87
• William Hooper: Racionální rekreace. London, 1774, str. 286–287 (vadné 1. vydání)
• William Hooper: Racionální rekreace. London, 1782, str. 286–287 (opravené 2. vydání)

externí odkazy

• Hooperův paradox: Jak je to možné? auf cut-the-knot.org
• Mariano Tomatis: Prokletí křišťálových lebek a dalších hádanek mizející oblasti