Hilbertsova nerovnost - Hilberts inequality - Wikipedia

v analýza, obor matematiky, Hilbertova nerovnost tvrdí, že

${ displaystyle left | sum _ {r neq s} { dfrac {u_ {r} { overline {u_ {s}}}} {rs}} right | leq pi displaystyle sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2}.}$

pro libovolnou sekvenci u₁,u₂, ... komplexních čísel. Poprvé to prokázal David Hilbert s konstantou 2π namísto π; ostrou konstantu našel Issai Schur. Znamená to, že diskrétní Hilbertova transformace je omezený operátor v ℓ₂.

Formulace

Nechť (u_m) být posloupnost komplexních čísel. Pokud je posloupnost nekonečná, předpokládejme, že je čtvercová sumarizovatelná:

${ displaystyle sum _ {m} | u_ {m} | ^ {2} < infty}$

Hilbertova nerovnost (viz Steele (2004) ) tvrdí, že

${ displaystyle left | sum _ {r neq s} { dfrac {u_ {r} { overline {u_ {s}}}} {rs}} right | leq pi displaystyle sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2}.}$

Rozšíření

V roce 1973 Montgomery a Vaughan uvedl několik zevšeobecnění Hilbertovy nerovnosti s ohledem na bilineární formy

${ displaystyle sum _ {r neq s} u_ {r} { overline {u}} _ {s} csc pi (x_ {r} -x_ {s})}$

a

${ displaystyle sum _ {r neq s} { dfrac {u_ {r} { overline {u}} _ {s}} { lambda _ {r} - lambda _ {s}}},}$

kde X₁,X₂,...,X_m jsou odlišná reálná čísla modulo 1 (tj. patří do odlišných tříd v kvocientová skupina R/Z) a λ₁,...,λ_m jsou zřetelná reálná čísla. Montgomery a Vaughan Zobecnění Hilbertovy nerovnosti je pak dáno

${ displaystyle left | sum _ {r neq s} u_ {r} { overline {u_ {s}}} csc pi (x_ {r} -x_ {s}) right | leq delta ^ {- 1} sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2}.}$

a

${ displaystyle left | sum _ {r neq s} { dfrac {u_ {r} { overline {u_ {s}}}} { lambda _ {r} - lambda _ {s}}} right | leq pi tau ^ {- 1} sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2}.}$

kde

${ displaystyle delta = { min _ {r, s}} {} _ {+} | x_ {r} -x_ {s} |, quad tau = min _ {r, s} { } _ {+} | lambda _ {r} - lambda _ {s} |,}$

${ displaystyle | s | = min _ {m in mathbb {Z}} | s-m |}$

je vzdálenost od s na nejbližší celé číslo a min₊ označuje nejmenší kladnou hodnotu. Navíc pokud

${ displaystyle 0 < delta _ {r} leq { min _ {s}} {} _ {+} | x_ {r} -x_ {s} | quad { text {a}} quad 0 < tau _ {r} leq { min _ {s}} {} _ {+} | lambda _ {r} - lambda _ {s} |,}$

pak platí následující nerovnosti:

${ displaystyle left | sum _ {r neq s} u_ {r} { overline {u_ {s}}} csc pi (x_ {r} -x_ {s}) right | leq { dfrac {3} {2}} sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2} delta _ {r} ^ {- 1}.}$

a

${ displaystyle left | sum _ {r neq s} { dfrac {u_ {r} { overline {u_ {s}}}} { lambda _ {r} - lambda _ {s}}} right | leq { dfrac {3} {2}} pi sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2} tau _ {r} ^ {- 1}.}$

Reference

• Kapitola online knih Hilbertova nerovnost a problémy s kompenzací extrahováno z Steele, J. Michael (2004). „Kapitola 10: Hilbertova nerovnost a problémy s kompenzací“. Cauchy-Schwarzova mistrovská třída: úvod do umění matematických nerovností. Cambridge University Press. 155–165. ISBN  0-521-54677-X.CS1 maint: ref = harv (odkaz).
• Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1974). „Hilbertova nerovnost“. J. London Math. Soc. Řada 2. 8: 73–82. ISSN  0024-6107.

externí odkazy

• Godunova, E.K. (2001) [1994], „Hilbertova nerovnost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS