Hermitianská vlnka - Hermitian wavelet

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Hermitianská vlnka“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Hermitovské vlnky jsou rodina spojité vlnky, použitý v spojitá vlnková transformace. The ${ displaystyle n ^ { textrm {th}}}$ Hermitovská vlnka je definována jako ${ displaystyle n ^ { textrm {th}}}$ derivát a Gaussovo rozdělení:

${ displaystyle Psi _ {n} (t) = (2n) ^ {- { frac {n} {2}}} c_ {n} He_ {n} vlevo (t vpravo) e ^ {- { frac {1} {2n}} t ^ {2}}}$

kde ${ displaystyle He_ {n} vlevo ({x} vpravo)}$ označuje ${ displaystyle n ^ { textrm {th}}}$ Poustevnický polynom.

Normalizační koeficient ${ displaystyle c_ {n}}$ darováno:

${ displaystyle c_ {n} = left (n ^ {{ frac {1} {2}} - n} Gamma (n + { frac {1} {2}}) right) ^ {- { frac {1} {2}}} = left (n ^ {{ frac {1} {2}} - n} { sqrt { pi}} 2 ^ {- n} (2n-1) !! right) ^ {- { frac {1} {2}}} quad n in mathbb {Z}.}$

Prefaktor ${ displaystyle C _ { Psi}}$ v rozlišení identity spojité vlnkové transformace pro tuto vlnku je dáno vztahem:

${ displaystyle C _ { Psi} = { frac {4 pi n} {2n-1}}}$

tj. Hermitovské vlnky jsou přípustné pro všechny pozitivní ${ displaystyle n}$.

v počítačové vidění a zpracování obrazu Gaussovské derivační operátory různých řádů se často používají jako základ pro vyjádření různých typů vizuálních operací; vidět měřítko prostoru a N-jet.

Příklady hermitovských vlnek:Počínaje a Gaussova funkce s ${ displaystyle mu = 0, sigma = 1}$:

${ displaystyle f (t) = pi ^ {- 1/4} e ^ {(- t ^ {2} / 2)}}$

přečteny první 3 deriváty

${ displaystyle { begin {aligned} f '(t) & = - pi ^ {- 1/4} te ^ {(- t ^ {2} / 2)} f' (t) & = pi ^ {- 1/4} (t ^ {2} -1) e ^ {(- t ^ {2} / 2)} f ^ {(3)} (t) & = pi ^ { -1/4} (3t-t ^ {3}) e ^ {(- t ^ {2} / 2)} end {zarovnáno}}}$

a jejich ${ displaystyle L ^ {2}}$ normy ${ displaystyle || f '|| = { sqrt {2}} / 2, || f' '|| = { sqrt {3}} / 2, || f ^ {(3)} || = { sqrt {30}} / 4}$

Vlny, které jsou negativními normalizovanými deriváty, jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} Psi _ {1} (t) & = { sqrt {2}} pi ^ {- 1/4} te ^ {(- t ^ {2} / 2)} Psi _ {2} (t) & = { frac {2} {3}} { sqrt {3}} pi ^ {- 1/4} (1-t ^ {2}) e ​​^ {(-t ^ {2} / 2)} Psi _ {3} (t) & = { frac {2} {15}} { sqrt {30}} pi ^ {- 1/4 } (t ^ {3} -3t) e ^ {(- t ^ {2} / 2)} end {zarovnáno}}}$