Kanonická forma funkcí TP a modelů qLPV založená na HOSVD - HOSVD-based canonical form of TP functions and qLPV models

tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (duben 2013)

Na základě klíčové myšlenky rozklad singulární hodnoty vyššího řádu^[1] (HOSVD) v tenzorová algebra, Baranyi a Yam navrhli koncept Na základě HOSVD kanonická forma funkcí TP a modelů systému kvazi-LPV.^[2][3] Szeidl a kol.^[4] dokázal, že Transformace modelu TP^[5][6] je schopen numericky rekonstruovat tuto kanonickou formu.

Související definice (na funkcích TP, funkcích TP s konečnými prvky a modelech TP) lze nalézt tady. Podrobnosti o teoretickém základu ovládání (tj. Polytopický stavový model typu TP s lineárním parametrem typu TP) lze nalézt tady.

Zdarma MATLAB implementaci transformace modelu TP lze stáhnout na [1] nebo na MATLAB Central [2].

Existence kanonické formy založené na HOSVD

Předpokládejme danou funkci konečných prvků TP:

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n}),}$

kde ${ displaystyle mathbf {x} v Omega podmnožina R ^ {N}}$. Předpokládejme, že funkce vážení funguje v ${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (x_ {n})}$ jsou othonormální (nebo se transformujeme do) pro ${ displaystyle n = 1, ldots, N}$. Poté provedení HOSVD na tenzoru jádra ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ vede k:

${ displaystyle { mathcal {S}} = { mathcal {A}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {U} _ {n}.}$

Pak,

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n}) = left ( { mathcal {A}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {U} _ {n} right) boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ { n} (x_ {n}),}$

to je:

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = { mathcal {A}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} left ( mathbf {w} _ {n} (x_ {n}) mathbf {U} _ {n} right) = { mathcal {A}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w '} _ {n} (x_ {n}),}$

kde váhové funkce ${ displaystyle mathbf {w '} _ {n} (x_ {n}),}$ jsou orthonormed (jako oba ${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (x_ {n})}$ a ${ displaystyle mathbf {U} _ {n}}$ kde orthonormed) a základní tenzor ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ obsahuje singulární hodnoty vyššího řádu.

Definice

Kanonická forma funkce TP založená na HOSVD

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = { mathcal {A}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n}),}$

• Singulární funkce ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$: Funkce vážení

${ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (x_ {n})}$, ${ displaystyle i_ {n} = 1, ldots, r_ {n}}$ (označováno jako ${ displaystyle i_ {n}}$-tá singulární funkce na ${ displaystyle n}$-tá dimenze, ${ displaystyle n = 1, ldots, N}$) ve vektoru${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (x_ {n})}$ tvoří ortonormální sadu:

${ displaystyle forall n: int _ {a_ {n}} ^ {b_ {n}} { tilde {w}} _ {n, i} (p_ {n}) { tilde {w}} _ {n, j} (p_ {n}) , dp_ {n} = delta _ {i, j}, quad 1 leq i, j leq I_ {n},}$

kde ${ displaystyle delta _ {i, j}}$ je delta funkce Kronecker (${ displaystyle delta _ {ij} = 1}$, pokud ${ displaystyle i = j}$ a ${ displaystyle delta _ {ij} = 0}$, pokud ${ displaystyle i neq j}$).

• Subtensors ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {i_ {n} = i}}$ mít vlastnosti

• all-orthogonality: dva sub tenzory ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {i_ {n} = i}}$ a ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {i_ {n} = j}}$ jsou ortogonální pro všechny možné hodnoty ${ displaystyle n, i}$ a ${ displaystyle j: left langle { mathcal {A}} _ {i_ {n} = i}, { mathcal {A}} _ {i_ {n} = j} right rangle = 0}$ když ${ displaystyle i neq j}$,
• objednávání: ${ displaystyle left | { mathcal {A}} _ {i_ {n} = 1} right | geq left | { mathcal {A}} _ {i_ {n} = 2} right | geq cdots geq left | { mathcal {A}} _ {i_ {n} = r_ {n}} right |> 0}$ pro všechny možné hodnoty ${ displaystyle n = 1, ldots, N + 2}$.

• ${ displaystyle n}$-mode singulární hodnoty ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$: Frobeniova norma ${ displaystyle left | { mathcal {A}} _ {i_ {n} = i} right |}$, symbolizovaný ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {(n)}}$, jsou ${ displaystyle n}$-mode singulární hodnoty ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ a tedy daná funkce TP.
• ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ se nazývá tenzor jádra.
• The ${ displaystyle n}$- hodnost režimu ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$: Hodnost v dimenzi ${ displaystyle n}$ označeno ${ displaystyle rank_ {n} (f ( mathbf {x}))}$ je rovno počtu nenulových singulárních hodnot v dimenzi ${ displaystyle n}$.

Reference