Bez závisti - Group-envy-free

Skupinová závistivost^[1] (také zvaný: koaliční spravedlnost)^[2] je kritériem pro spravedlivé rozdělení. Divize bez závisti skupiny je rozdělení zdroje mezi několik partnerů, takže každá skupina partnerů má pocit, že jejich přidělený podíl je přinejmenším stejně dobrý jako podíl jakékoli jiné skupiny se stejnou velikostí. Termín se používá zejména u problémů, jako je spravedlivý přidělení zdrojů, spravedlivé krájení dortu a spravedlivé rozdělení položek.

Skupina-závist-bezstarostnost je velmi silný požadavek spravedlnosti: alokace bez závisti je obojí bez závisti a Pareto efektivní, ale opak není pravdou.

Definice

Zvažte sadu n agenti. Každý agent i obdrží určitou alokaci X_i (např. hračka nebo balíček zdrojů). Každý agent i má určitý subjektivní preferenční vztah <_i přes kusy / svazky (tj. ${ displaystyle X <_ {i} Y}$ znamená toho agenta i preferuje kus X na kusy Y).

Zvažte skupinu G agentů se současným přidělením ${ displaystyle {X_ {i} } _ {i v G}}$. Říkáme tu skupinu G preferuje kus Y na jeho aktuální alokaci, pokud existuje oddíl Y členům G: ${ displaystyle {Y_ {i} } _ {i v G}}$, takže alespoň jeden agent i dává přednost své nové alokaci před svou předchozí alokací (${ displaystyle X_ {i} <_ {i} Y_ {i}}$) a žádný agent neupřednostňuje své předchozí přidělení před novým přidělením.

Zvažte dvě skupiny agentů, G a H, každý se stejným číslem k agentů. Říkáme tu skupinu G závidí skupina H pokud skupina G upřednostňuje společné přidělení skupiny H (a to ${ displaystyle cup _ {i v H} {X_ {i}}}$) k jeho aktuální alokaci.

Alokace {X₁, ..., X_n} je nazýván bez závisti skupiny pokud neexistuje žádná skupina agentů, která by záviděla jinou skupinu se stejným počtem agentů.

Vztahy k jiným kritériím

Alokace bez závisti skupiny je také bez závisti, od té doby G a H mohou to být skupiny s jediným agentem.

Alokace bez závisti skupiny je také Pareto efektivní, od té doby G a H může být celá skupina všech n agenti.

Skupinová závistlivost je silnější než kombinace těchto dvou kritérií, protože se vztahuje i na skupiny 2, 3, ..., n-1 agenti.

Existence

v přidělení zdrojů nastavení existuje alokace bez závisti skupiny. Navíc toho lze dosáhnout jako konkurenční rovnováha se stejnými počátečními dotacemi.^[3][4][2]

v spravedlivé krájení dortu nastavení existuje alokace bez závisti skupiny, pokud jsou preference vztahy reprezentovány pozitivními kontinuálními hodnotami. Tj. Každý agent i má určitou funkci PROTI_i představující hodnotu každého kusu koláče a všechny tyto funkce jsou aditivní a neatomové.^[1]

Kromě toho existuje alokace bez závisti skupiny, pokud jsou preferenční vztahy reprezentovány preferencemi před konečnými vektorové míry. Tj. Každý agent i má určité vektorová funkce PROTI_i, představující hodnoty různých charakteristik každého kusu koláče, a všechny komponenty v každé takové vektorové funkci jsou aditivní a neanomické a navíc je preferenční vztah nad vektory kontinuální, monotónní a konvexní.^[5]

Alternativní definice

Aleksandrov a Walsh^[6] používat výraz „skupinová závist-bezstarostnost“ se používá v slabším smyslu. Předpokládají, že každá skupina G vyhodnotí jeho kombinovanou alokaci jako aritmetický průměr utilit svých členů, tj .:

${ displaystyle u_ {G} (X_ {G}): = { frac {1} {| G |}} součet _ {i v G} u_ {i} (X_ {i})}$

a hodnotí kombinovanou alokaci každé jiné skupiny H jako aritmetický průměr ocenění, tj .:

${ displaystyle u_ {G} (X_ {H}): = { frac {1} {| G | cdot | H |}} součet _ {i v G} součet _ {j v H} u_ {i} (X_ {j})}$

Podle jejich definice je alokace g, h-skupina-závist-free (GEF_{g, h}) pokud pro všechny skupiny G velikosti G a všechny skupiny H velikosti h:

${ displaystyle u_ {G} (X_ {G}) geq u_ {G} (X_ {H})}$

GEF_1,1 je ekvivalentní k závistlivost; GEF_{1, č} je ekvivalentní k proporcionalita; GEF_{n, n} je triviálně spokojen s jakoukoli alokací. Pro každého G a h, GEF_{g, h} znamená GEF_{g, h + 1} a GEF_{g + 1, h}. Důsledky jsou přísné pro 3 nebo více agentů; pro 2 agenty, GEF_{g, h} pro všechny G,h jsou ekvivalentní závistivosti. Z této definice skupina-závist-svobodnost neznamená Paretovu efektivitu. Definují alokaci X tak jako k-skupina-Pareto-efektivní (GPE_k) pokud neexistuje žádná jiná alokace Y to je přinejmenším stejně dobré pro všechny skupiny velikostí ka přísně lepší pro alespoň jednu skupinu velikostí ktj. všechny skupiny G velikosti k:

${ displaystyle u_ {G} (Y_ {G}) geq u_ {G} (X_ {G})}$

a alespoň pro jednu skupinu G velikosti k:

${ displaystyle u_ {G} (Y_ {G})> u_ {G} (X_ {G})}$.

GPE₁ je ekvivalentní Paretově efektivitě. GPE_n je ekvivalentní k utilitářsko-maximální alokace, protože pro velkou skupinu G velikosti nnástroj u_G je ekvivalentní součtu utilit všech agentů. Pro všechny k, GPE_{k + 1} znamená GPE_k. Inverzní implikace není pravdivá ani u dvou agentů. Zvažují také přibližné představy o těchto vlastnostech spravedlnosti a efektivity a jejich cena spravedlnosti.

Reference