Základní výraz - Ground expression
v matematická logika, a základní termín a formální systém je období který neobsahuje žádné proměnné. Podobně, a základní vzorec je vzorec který neobsahuje žádné proměnné.
v logika prvního řádu s identitou, věta Q (a) ∨ P (b) je základní vzorec, s A a b být konstantní symboly. A pozemský výraz je základní pojem nebo základní vzorec.
Příklady
Zvažte následující výrazy v logika prvního řádu přes podpis obsahující konstantní symbol 0 pro číslo 0, unární funkční symbol s pro následnickou funkci a symbol binární funkce + pro sčítání.
- s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), ... jsou základní pojmy,
- 0 + 1, 0 + 1 + 1, ... jsou základní pojmy,
- X + s(1) a s(X) jsou pojmy, ale ne pozemské pojmy,
- s(0) = 1 a 0 + 0 = 0 jsou základní vzorce,
Formální definice
Následuje formální definice pro jazyky prvního řádu. Nechť je uveden jazyk prvního řádu, s C množina konstantních symbolů, PROTI soubor (jednotlivých) proměnných, F - soubor funkčních operátorů a - P soubor predikátové symboly.
Základní podmínky
Základní podmínky jsou podmínky které neobsahují žádné proměnné. Mohou být definovány logickou rekurzí (rekurze vzorce):
- Prvky C jsou základní pojmy;
- Li F ∈ F je n-ary symbol funkce a α1, α2, ..., αn jsou tedy základní pojmy F(α1, α2, ..., αn) je základní pojem.
- Každý základní člen může být dán konečnou aplikací výše uvedených dvou pravidel (neexistují žádné další základní členy; zejména predikáty nemohou být základními členy).
Zhruba řečeno Herbrandův vesmír je množina všech základních pojmů.
Pozemní atom
A pozemní predikát, pozemní atom nebo pozemní doslovný je atomový vzorec všechny argumenty, jejichž argumenty jsou základními pojmy.
Li str ∈ P je n-ary symbol predikátu a α1, α2, ..., αn jsou tedy základní pojmy str(α1, α2, ..., αn) je pozemní predikát nebo pozemní atom.
Zhruba řečeno Herbrandova základna je množina všech pozemních atomů, zatímco a Herbrandova interpretace přiřadí a pravdivostní hodnota ke každému pozemnímu atomu v základně.
Základní vzorec
Základní vzorec nebo základní klauze je vzorec bez proměnných.
Vzorce s volnými proměnnými lze definovat syntaktickou rekurzí následovně:
- Volné proměnné neuzemněného atomu jsou všechny proměnné, které se v něm vyskytují.
- Volné proměnné ¬str jsou stejné jako u str. Volné proměnné str∨q, str∧q, str→q jsou ty volné proměnné str nebo volné proměnné q.
- Volné proměnné ∀X str a ∃X str jsou volné proměnné str až na X.
Reference
- Dalal, M. (2000), „Paradigmata počítačového programování na základě logiky“, Rosen, K.H .; Michaels, J.G. (eds.), Příručka diskrétní a kombinatorické matematiky, str. 68
- Hodges, Wilfrid (1997), Kratší teorie modelů, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
- Logika prvního řádu: Syntax a sémantika