Produkt Gromov - Gromov product

v matematika, Produkt Gromov je pojem v teorii metrické prostory pojmenoval podle matematika Michail Gromov. Produkt Gromov lze také použít k definování δ-hyperbolické metrické prostory ve smyslu Gromova.

Definice

Nechť (X, d) být metrický prostor a nechat X, y, z ∈ X. Pak Produkt Gromov z y a z na X, označeno (y, z)_X, je definováno

${displaystyle (y, z) _ {x} = {frac {1} {2}} {ig (} d (x, y) + d (x, z) -d (y, z) {ig)}. }$

Motivace

Vzhledem k tomu, tři body X, y, z v metrickém prostoru X, nerovností trojúhelníku existují nezáporná čísla A, b, C takhle ${displaystyle d (x, y) = a + b, d (x, z) = a + c, d (y, z) = b + c}$. Pak jsou produkty Gromov ${displaystyle (y, z) _ {x} = a, (x, z) _ {y} = b, (x, y) _ {z} = c}$. V případě, že body X, y, z jsou vnější uzly a stativ pak tyto produkty Gromov jsou délky hran.

V hyperbolické, sférické nebo euklidovské rovině je produkt Gromov (A, B)_C rovná se vzdálenosti p mezi C a místo, kde incircle geodetického trojúhelníku ABC se dotkne okraje CB nebo CA. Opravdu z diagramu C = (A – p) + (b – p), aby p = (A + b – C)/2 = (A,B)_C. Pro každý metrický prostor tedy platí geometrická interpretace (A, B)_C se získá izometrickým zapuštěním (A, B, C) do euklidovské roviny.^[1]

Vlastnosti

• Produkt Gromov je symetrický: (y, z)_X = (z, y)_X.
• Produkt Gromov degeneruje v koncových bodech: (y, z)_y = (y, z)_z = 0.
• Za jakékoli body p, q, X, y a z,

${displaystyle d (x, y) = (x, z) _ {y} + (y, z) _ {x},}$

${displaystyle 0leq (y, z) _ {x} leq min {ig {} d (y, x), d (z, x) {ig}},}$

${displaystyle {ig |} (y, z) _ {p} - (y, z) _ {q} {ig |} leq d (p, q),}$

${displaystyle {ig |} (x, y) _ {p} - (x, z) _ {p} {ig |} leq d (y, z).}$

Body v nekonečnu

Zvážit hyperbolický prostor Hⁿ. Opravte základní bod p a nechte ${displaystyle x_ {infty}}$ a ${displaystyle y_ {infty}}$ být dva odlišné body v nekonečnu. Pak limit

${displaystyle liminf _ {x o x_ {infty} na vrcholu y o y_ {infty}} (x, y) _ {p}}$

existuje a je konečný, a proto jej lze považovat za zobecněný produkt Gromov. Je to vlastně dáno vzorcem

${displaystyle (x_ {infty}, y_ {infty}) _ {p} = log csc (heta / 2),}$

kde ${displaystyle heta}$ je úhel mezi geodetické paprsky ${displaystyle px_ {infty}}$ a ${displaystyle py_ {infty}}$.^[2]

δ-hyperbolické prostory a divergence geodetik

K definování lze použít produkt Gromov δ-hyperbolické prostory ve smyslu Gromov .: (X, d) se říká, že je δ-hyperbolický pokud pro všechny p, X, y a z v X,

${displaystyle (x, z) _ {p} geq min {ig {} (x, y) _ {p}, (y, z) _ {p} {ig}} - delta.}$

V tomto případě. Produkt Gromov měří, jak dlouho zůstává geodetika blízko sebe. Jmenovitě, pokud X, y a z jsou tři body a δ-hyperbolický metrický prostor pak počáteční segmenty délky (y, z)_X geodetiky z X na y a X na z jsou maximálně 2δ od sebe (ve smyslu Hausdorffova vzdálenost mezi uzavřenými sadami).

Poznámky

Reference

• Coornaert, M .; Delzant, T .; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov, Přednášky z matematiky (ve francouzštině), 1441, Springer-Verlag, ISBN  3-540-52977-2
• Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002). "Hranice hyperbolických skupin". Kombinatorická a geometrická teorie grup (New York, 2000 / Hoboken, NJ, 2001). Kontemp. Matematika. 296. Providence, RI: Amer. Matematika. Soc. 39–93. PAN  1921706.
• Väisälä, Jussi (2005). "Gromov hyperbolické prostory". Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187–231. doi:10.1016 / j.exmath.2005.01.010.