Zelení matice - Greens matrix - Wikipedia

v matematika, a zejména obyčejné diferenciální rovnice, a Greenova matice pomáhá určit konkrétní řešení nehomogenního lineárního systému ODR prvního řádu. Pojem je pojmenován po George Green.

Zvažte například ${ displaystyle x '= A (t) x + g (t) ,}$ kde ${ displaystyle x ,}$ je vektor a ${ displaystyle A (t) ,}$ je ${ displaystyle n krát n ,}$ maticová funkce ${ displaystyle t ,}$ , který je spojitý pro ${ displaystyle t v I, a leq t leq b ,}$ , kde ${ displaystyle I ,}$ je nějaký interval.

Tak teď ${ displaystyle x ^ {1} (t), ldots, x ^ {n} (t) ,}$ být ${ displaystyle n ,}$ lineárně nezávislá řešení homogenní rovnice ${ displaystyle x '= A (t) x ,}$ a uspořádat je do sloupců, aby vytvořily základní matici:

{ displaystyle X (t) = vlevo [x ^ {1} (t), ldots, x ^ {n} (t) vpravo). ,}

Nyní ${ displaystyle X (t) ,}$ je ${ displaystyle n krát n ,}$ maticové řešení ${ displaystyle X '= AX ,}$ .

Tato základní matice poskytne homogenní řešení, a pokud se přidá ke konkrétnímu řešení, dá obecné řešení nehomogenní rovnice.

Nechat ${ displaystyle x = Xy ,}$ být obecným řešením. Nyní,

{ displaystyle { begin {aligned} x '& = X'y + Xy' & = AXy + Xy ' & = Axe + Xy'. end {aligned}}}

Z toho vyplývá ${ displaystyle Xy '= g ,}$ nebo ${ displaystyle y = c + int _ {a} ^ {t} X ^ {- 1} (s) g (s) , ds ,}$ kde ${ displaystyle c ,}$ je libovolný konstantní vektor.

Obecné řešení nyní je ${ displaystyle x = X (t) c + X (t) int _ {a} ^ {t} X ^ {- 1} (s) g (s) , ds. ,}$

První člen je homogenní řešení a druhý člen je konkrétní řešení.

Nyní definujte Greenovu matici ${ displaystyle G_ {0} (t, s) = { begin {cases} 0 & t leq s leq b X (t) X ^ {- 1} (s) & a leq s$

Konkrétní řešení lze nyní zapsat ${ displaystyle x_ {p} (t) = int _ {a} ^ {b} G_ {0} (t, s) g (s) , ds. ,}$

externí odkazy

Příklad řešení nehomogenního systému lineárních ODR a nalezení Greenovy matice z www.exampleproblems.com.