Goldbachova kometa - Goldbachs comet - Wikipedia

Goldbachova kometa^[1] je název daný grafu funkce ${ displaystyle g (E)}$, takzvaný Funkce Goldbach. Funkce Goldbach je studována ve vztahu k Goldbachova domněnka. Funkce ${ displaystyle g (E)}$ je definována pro všechna sudá celá čísla ${ displaystyle E> 2}$ být počet různých způsobů, jakými E lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel. Například, ${ displaystyle g (22) = 3}$ protože 22 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel třemi různými způsoby (${ displaystyle 22 = 11 + 11 = 5 + 17 = 3 + 19}$).

Vybarvení bodů ve výše uvedeném obrázku je založeno na hodnotě ${ displaystyle E / 2}$ modulo 3 s červenými body odpovídajícími 0 mod 3, modré body odpovídající 1 mod 3 a zelené body odpovídající 2 mod 3. Jinými slovy, červené body jsou násobky 6; modré body mají tvar „násobek 6 plus 2“; a zelené body jsou násobky 6 plus 4.

Anatomie Goldbachovy komety

Osvětlující způsob prezentace dat komety je jako histogram. Funkce ${ displaystyle g (E)}$ lze normalizovat vydělením lokálně zprůměrovanou hodnotou G, g_av, převzal možná 1000 sousedních hodnot sudého čísla E. Histogram lze poté akumulovat v rozsahu až přibližně 10% na obě strany od středu E.

Takový histogram se objeví vpravo. Je zřejmá řada přesně definovaných vrcholů. Každý z těchto vrcholů lze identifikovat jako tvořený množinou hodnot ${ displaystyle E / 2}$ které mají určité nejmenší faktory. Hlavní vrcholy odpovídají nejnižším faktorům 3, 5, 7 ... jak jsou označeny. Jak se nejnižší faktory zvyšují, vrcholy se pohybují doleva a nakonec se spojí, aby poskytly nejnižší hodnotu primárního vrcholu.

Ve skutečnosti existuje hierarchie vrcholů; hlavní vrcholy se skládají z vedlejších vrcholů se sledem druhých nejmenších faktorů ${ displaystyle E / 2}$. Tato hierarchie pokračuje, dokud nejsou vyčerpány všechny faktory.

Zvětšená část ukazuje posloupnost vedlejších vrcholů podrobněji.

Relativní umístění vrcholů vyplývá z formy vyvinuté Hardym a Littlewoodem:^[2]

${ displaystyle { frac {g (E)} {g_ {av}}} = Pi _ {2} prod { frac {(p-1)} {(p-2)}} ,, quad quad quad quad quad quad (1)}$

kde je produkt převzat všemi prvočísly p to jsou faktory ${ displaystyle E / 2}$. Faktor vpravo je Hardy – Littlewoodova dvojitá hlavní konstanta

${ displaystyle Pi _ {2} = prod _ {p> 2} vlevo (1 - { frac {1} {(p-1) ^ {2}}} vpravo) = 0,6601618 ...}$

Zde je produkt převzat všemi prvočísly většími než 2.

Zvláště zajímavý je vrchol tvořený výběrem pouze hodnot ${ displaystyle E / 2}$ které jsou nejlepší. Faktor součinu v rovnici (1) je pak velmi blízko k 1. Vrchol je velmi blízko ke Gaussově formě (zobrazeno šedě). Pro tento rozsah E hodnot je umístění píku v rozmezí 0,03% ideálu ${ displaystyle Pi _ {2}}$.

Když jsou vytvořeny histogramy pro různé průměrné hodnoty E, se zjistí, že šířka tohoto (pouze prvočísla) píku je úměrná ${ displaystyle 1 / { sqrt {g_ {pav} (E)}}}$. Je to však faktor přibližně o 1,85 menší než hodnota ${ displaystyle { sqrt {2 / g_ {pav} (E)}}}$ to by se dalo očekávat z hypotézy zcela náhodný výskyt shody prime-pair. To lze očekávat, protože existují korelace které vedou k odděleným vrcholům v celkovém histogramu.

Vrátíme se k plnému rozsahu ${ displaystyle E / 2}$ spíše než jen připraví, je vidět, že jiné vrcholy spojené se specifikovanými nejnižšími faktory ${ displaystyle E / 2}$ může také být namontováno podle a Gaussian, ale pouze na spodním rameni. Horní rameno, které je tvořeno agregátem vedlejších vrcholů, leží nad jednoduchou Gaussovou formou.

Relativní výšky vrcholů v celkovém histogramu jsou reprezentativní pro populace různých typů ${ displaystyle E / 2}$ s různými faktory. Výšky jsou přibližně nepřímo úměrné ${ displaystyle Pi , p}$, produkty nejnižších faktorů. Výška píku označeného (3,5) v celkovém histogramu je tedy asi 1/15 hlavního píku. Výšky se od toho mohou lišit asi o 20%; jejich přesná hodnota je komplexní funkcí způsobu, jakým jsou vrcholy tvořeny z jejich složek, a jejich různé šířky.

Je zajímavé spekulovat o možnosti libovolného čísla E mít nulové primární páry, přičemž tyto gaussovské formy považujeme za pravděpodobnosti a za předpokladu, že je to legitimní odvozovat do bodu nulového páru. Pokud je to provedeno, pravděpodobnost nulových párů pro kterýkoli z nich E, v rozsahu zde uvažovaném, je řádu 10⁻³⁷⁰⁰. Integrovaná pravděpodobnost ve všech E do nekonečna, s přihlédnutím ke zúžení šířky píku, není o moc větší. Lze rozumně očekávat, že jakékoli hledání porušení Goldbachova domněnky bude mít tyto šance.

Reference