Podmínky Fritze Johna - Fritz John conditions
The Podmínky Fritze Johna (skr. Podmínky FJ ), v matematika , plocha nutná podmínka pro řešení v nelineární programování být optimální .[1] Karush – Kuhn – Tuckerovy podmínky , ale jsou relevantní samy o sobě.
Zvažujeme následující optimalizační problém :
minimalizovat F ( X ) podléhá: G i ( X ) ≤ 0 , i ∈ { 1 , … , m } h j ( X ) = 0 , j ∈ { m + 1 , … , n } { displaystyle { begin {zarovnáno} { text {minimalizovat}} & f (x) , { text {předmět:}} & g_ {i} (x) leq 0, i in vlevo {1, dots, m right } & h_ {j} (x) = 0, j in left {m + 1, dots, n right } end {aligned}} } kde ƒ je funkce být minimalizován, G i { displaystyle g_ {i}} omezení a h j { displaystyle h_ {j}} Já { displaystyle { mathcal {I}}} Já ′ { displaystyle { mathcal {já '}}} E { displaystyle { mathcal {E}}} indexy sady neaktivních, aktivních a omezení rovnosti a X ∗ { displaystyle x ^ {*}} F { displaystyle f} λ = [ λ 0 , λ 1 , λ 2 , … , λ n ] { displaystyle lambda = [ lambda _ {0}, lambda _ {1}, lambda _ {2}, tečky, lambda _ {n}]}
{ λ 0 ∇ F ( X ∗ ) + ∑ i ∈ Já ′ λ i ∇ G i ( X ∗ ) + ∑ i ∈ E λ i ∇ h i ( X ∗ ) = 0 λ i ≥ 0 , i ∈ Já ′ ∪ { 0 } ∃ i ∈ ( { 0 , 1 , … , n } ∖ Já ) ( λ i ≠ 0 ) { displaystyle { begin {cases} lambda _ {0} nabla f (x ^ {*}) + sum limits _ {i in { mathcal {I}} '} lambda _ {i} nabla g_ {i} (x ^ {*}) + sum limits _ {i in { mathcal {E}}} lambda _ {i} nabla h_ {i} (x ^ {*}) = 0 [10pt] lambda _ {i} geq 0, i in { mathcal {I}} ' cup {0 } [10pt] existuje i in left ( {0,1, ldots, n } zpětné lomítko { mathcal {I}} vpravo) vlevo ( lambda _ {i} neq 0 vpravo) end {případy}}} λ 0 > 0 { displaystyle lambda _ {0}> 0} -li the ∇ G i ( i ∈ Já ′ ) { displaystyle nabla g_ {i} (i in { mathcal {I}} ')} ∇ h i ( i ∈ E ) { displaystyle nabla h_ {i} (i in { mathcal {E}})} lineárně nezávislé nebo, obecněji, když a omezení kvalifikace drží.
Pojmenoval podle Fritz John , tyto podmínky jsou ekvivalentní s Karush – Kuhn – Tuckerovy podmínky v případě λ 0 > 0 { displaystyle lambda _ {0}> 0} λ 0 = 0 { displaystyle lambda _ {0} = 0} Mangasarian – Fromovitz omezení kvalifikace (MFCQ). Jinými slovy je podmínka Fritze Johna ekvivalentní podmínce optimality KKT nebo ne-MFCQ.[Citace je zapotřebí
Reference Další čtení Rau, Nicholas (1981). "Lagrangeovy multiplikátory". Matice a matematické programování . Londýn: Macmillan. str. 156–174. ISBN 0-333-27768-6
![lambda = [ lambda_0, lambda _1, lambda _2, tečky, lambda _n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25076573b9439185d47b40d8f29939905230dbe)
![{ displaystyle { begin {cases} lambda _ {0} nabla f (x ^ {*}) + sum limits _ {i in { mathcal {I}} '} lambda _ {i} nabla g_ {i} (x ^ {*}) + sum limits _ {i in { mathcal {E}}} lambda _ {i} nabla h_ {i} (x ^ {*}) = 0 [10pt] lambda _ {i} geq 0, i in { mathcal {I}} ' cup {0 } [10pt] existuje i in left ( {0,1, ldots, n } zpětné lomítko { mathcal {I}} vpravo) vlevo ( lambda _ {i} neq 0 vpravo) end {případy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83fc06dc1e0fe79f3a7894e8a105379b58edca6)
