Frakční waveletová transformace - Fractional wavelet transform - Wikipedia

Frakční waveletová transformace (FRWT) je zobecněním klasiky vlnková transformace (WT). Tato transformace je navržena s cílem napravit omezení WT a frakční Fourierova transformace (FRFT). FRWT zdědil výhody multirezoluční analýza WT a má schopnost signálních reprezentací ve frakční doméně, která je podobná FRFT.

Definice

Frakční Fourierova transformace (FRFT)^[1]， Zobecnění Fourierovy transformace (FT), slouží jako užitečný a výkonný analytický nástroj^[2] v optice, komunikaci, zpracování signálu a obrazu atd. Tato transformace má však jednu hlavní nevýhodu kvůli použití globálního jádra, tj. zlomková Fourierova reprezentace poskytuje pouze takový spektrální obsah FRFT bez indikace časové lokalizace spektrálního spektra FRFT Proto analýza nestacionárních signálů, jejichž spektrální charakteristiky FRFT se mění s časem, vyžaduje společné reprezentace signálů v časové i FRFT doméně, nikoli pouze reprezentaci FRFT domény.

První modifikace FRFT umožňující analýzu výše zmíněných nestacionárních signálů přišla jako krátkodobá FRFT (STFRFT).^[3]^[4] Myšlenkou STFRFT byla segmentace signálu pomocí časově lokalizovaného okna a provedení FRFT spektrální analýzy pro každý segment. Protože FRFT byl vypočítán pro každý segment okna se signálem, byl STFRFT schopen poskytnout skutečnou společnou reprezentaci signálu v časové i FRFT doméně. Nevýhodou však je, že STFRFT má omezení pevné šířky okna, které je třeba a priori opravit; to efektivně znamená, že neposkytuje požadované dobré rozlišení v časové i FRFT doméně. Jinými slovy, účinnost technik STFRFT je omezena základním principem nejistoty,^[5] což znamená, že úzká okna produkují dobré časové rozlišení, ale špatné spektrální rozlišení, zatímco široká okna poskytují dobré spektrální rozlišení, ale špatné časové rozlišení. Většina signálů praktického zájmu je taková, že mají vysoké spektrální složky pro krátké doby trvání a nízké spektrální složky pro dlouhé doby trvání.

Jako zevšeobecnění vlnkové transformace Mendlovic a David^[6] poprvé představil frakční waveletovou transformaci (FRWT) jako způsob řešení optických signálů, který byl definován jako kaskáda FRFT a obyčejná waveletová transformace (WT), tj.

{ displaystyle { begin {aligned} W ^ { alpha} (a, b) & = { frac {1} { sqrt {a}}} int limity _ { mathbb {R}} int limits _ { mathbb {R}} { mathcal {K}} _ { alpha} (u, t) f (t) psi ^ { ast} left ({ frac {ub} {a} } right) dtdu & = { frac {1} { sqrt {a}}} int limits _ { mathbb {R}} left ( int limits _ { mathbb {R}} f (t) { mathcal {K}} _ { alpha} (u, t) dt right) psi ^ { ast} left ({ frac {ub} {a}} right) du & = { frac {1} { sqrt {a}}} int limits _ { mathbb {R}} F ​​_ { alpha} (u) psi ^ { ast} left ({ frac {ub} {a}} right) du end {aligned}}}

kde transformační jádro ${ displaystyle { mathcal {K}} _ { alpha} (u, t)}$ darováno

{ displaystyle { mathcal {K}} _ { alpha} (u, t) = { begin {cases} A _ { alpha} e ^ {j { frac {u ^ {2} + t ^ {2 }} {2}} cot alpha -jut csc alpha}, & alpha neq k pi delta (tu), & alpha = 2k pi delta (t + u) , & alpha = (2k-1) pi konec {případů}}}

kde ${ displaystyle A _ { alpha} = { sqrt {{(1-j cot alpha)} / {2 pi}}}}$ , a ${ displaystyle F _ { alpha} (u)}$ označuje FRFT z ${ displaystyle f (t)}$ . Nelze to však považovat za druh společné reprezentace domény čas-FRFT, protože při této transformaci dochází ke ztrátě časových informací. Navíc Prasad a Mahato^[7] vyjádřil běžný WT signálu, pokud jde o FRFTs signálu a mateřské vlnky, a také nazval výraz FRWT. To znamená

{ displaystyle { begin {aligned} left (W _ { psi} ^ { alpha} f right) (b, a) & = { frac {1} { sqrt {a}}} int limity _ { mathbb {R}} f (t) psi ^ { ast} vlevo ({ frac {tb} {a}} vpravo) dt & = { frac { csc alpha} {4 pi ^ {2}}} int limity _ { mathbb {R}} F ​​(u sin alpha) Psi ^ { ast} (au sin alpha) e ^ {j { frac {u ^ {2}} {4}} (1-a ^ {2}) sin 2 alpha -jbu} du end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle F (u sin alfa)}$ a ${ displaystyle Psi (u sin alfa)}$ označte FT (s jejich argumenty zmenšenými o) ${ displaystyle sin alpha}$ ) ${ displaystyle f (t)}$ a ${ displaystyle psi (t)}$ , resp. Je zřejmé, že tento takzvaný FRWT je totožný s běžným WT.

Nedávno Shi a kol. navrhla novou definici^[8] FRWT zavedením nové struktury frakční konvoluce^[9] spojené s FRFT. Konkrétně FRWT jakékoli funkce ${ displaystyle f (t) v L ^ {2} ( mathbb {R})}$ je definován jako [8]

{ displaystyle W_ {f} ^ { alpha} (a, b) = { mathcal {W}} ^ { alpha} [f (t)] (a, b) = int limity _ { mathbb {R}} f (t) psi _ { alfa, a, b} ^ { ast} (t) , dt}

kde ${ displaystyle psi _ { alfa, a, b} (t)}$ je kontinuální afinní transformace a cvrlikání modulace mateřské vlnky ${ displaystyle psi (t)}$ , tj.,

{ displaystyle psi _ { alpha, a, b} (t) = { frac {1} { sqrt {a}}} psi left ({ frac {tb} {a}} right) e ^ {- j { frac {t ^ {2} -b ^ {2}} {2}} cot alpha}}

ve kterém ${ displaystyle a in mathbb {R ^ {+}}}$ a ${ displaystyle b in mathbb {R}}$ jsou parametry změny měřítka a překladu. Naopak inverzní FRWT je dán vztahem

{ displaystyle f (t) = { frac {1} {2 pi C _ { psi}}} int limity _ { mathbb {R}} int limity _ { mathbb {R} ^ { +}} W_ {f} ^ { alpha} (a, b) psi _ { alpha, a, b} (t) { frac {da} {a ^ {2}}} db}

kde ${ displaystyle C _ { psi}}$ je konstanta, která závisí na použité vlnce. Úspěch rekonstrukce závisí na této konstantě nazývané konstanta přípustnosti, která splňuje následující podmínku přípustnosti:

{ displaystyle C _ { psi} = int limity _ { mathbb {R}} { frac {| Psi ( Omega) | ^ {2}} {| Omega |}} , d Omega < infty}

kde ${ displaystyle Psi ( Omega)}$ označuje FT ${ displaystyle psi (t)}$ . Z podmínky přípustnosti vyplývá, že ${ displaystyle Psi (0) = 0}$ , který je ${ displaystyle int _ { mathbb {R}} psi (t) dt = 0}$ . V důsledku toho musí spojité frakční vlnky oscilovat a chovat se jako pásmové filtry ve frakční Fourierově doméně. Z tohoto hlediska je FRWT z ${ displaystyle f (t)}$ lze vyjádřit z hlediska reprezentace domény FRFT jako

{ displaystyle W_ {f} ^ { alpha} (a, b) = int limity _ { mathbb {R}} {{ sqrt {2 pi a}} F _ { alpha} (u) Psi ^ { ast} (au csc alpha)} { mathcal {K}} _ { alpha} ^ { ast} (u, b) du}

kde ${ displaystyle F _ { alpha} (u)}$ označuje FRFT z ${ displaystyle f (t)}$ , a ${ displaystyle Psi (u csc alfa)}$ označuje FT (s argumentem upraveným o ${ displaystyle csc alpha}$ ) z ${ displaystyle psi (t)}$ . Všimněte si, že když ${ displaystyle alpha = { pi} / {2}}$ , FRWT se redukuje na klasický WT. Více podrobností o tomto typu FRWT viz [8] a.^[10]

Multiresolution Analysis (MRA) Associated with Fractional Wavelet Transform

V článku je uveden komplexní přehled MRA a ortogonálních frakčních vlnek spojených s FRWT.^[11]

Reference

^ H. M. Ozaktas, Z. Zalevsky a M. A. Kutay, Frakční Fourierova transformace s aplikacemi v optice a zpracování signálu. Wiley, New York, 2000.
^ E. Sejdic, I. Djurovic a L. Stankovic, „Frakční Fourierova transformace jako nástroj pro zpracování signálu: Přehled nedávného vývoje,“ Signal Process., Sv. 91, s. 1351--1369, 2011.
^ L. Stankovic, T. Alieva a M. J. Bastiaans, „Analýza časově-frekvenčních signálů založená na okenní frakční Fourierově transformaci,“ Signal Process., Sv. 83, s. 2459--2468, 2003.
^ R. Tao, Y. Lei a Y. Wang, „Krátkodobá frakční Fourierova transformace a její aplikace,“ IEEE Trans. Signal Process., Sv. 58, s. 2568--2580, 2010.
^ J. Shi, X.-P. Liu a N.-T. Zhang, „Na principu neurčitosti pro koncentrace signálu s frakční Fourierovou transformací,“ Signal Process., Sv. 92, s. 2830--2836, 2012.
^ D. Mendlovic, Z. Zalevsky, D. Mas, J. Garcia a C. Ferreira, „Frakční vlnková transformace“, Appl. Opt., Sv. 36, s. 4801--4806, 1997.
^ A. Prasad a A. Mahato, „Frakční vlnková transformace v prostorech typu S,“ Integral Transform Spec. Funct., Sv. 23, č. 4, s. 237--249, 2012.
^ Shi, J .; Zhang, N.-T .; Liu, X.-P. (2011). „Nová frakční vlnková transformace a její aplikace“. Sci. Čína Inf. Sci. 55 (6): 1270–1279. doi:10.1007 / s11432-011-4320-x.
^ Shi, J .; Chi, Y.-G .; Zhang, N.-T. (2010). "Vícekanálové vzorkování a rekonstrukce signálů s omezeným pásmem ve zlomkové Fourierově doméně". Proces signálu IEEE. Lett. 17 (11): 909–912. doi:10.1109 / lsp.2010.2071383.
^ L. Debnath a F. A. Shah, Wavelet Transforms and their Applications, 2. vydání, 2015, s. 14-15. URL: https://www.springer.com/cn/book/9780817684174/
^ Shi, J .; Liu, X.-P .; Zhang, N.-T. (2015). "Multirezoluční analýza a ortogonální vlnky spojené s frakční vlnkovou transformací". Proces signálu, obrazu, videa. 9 (1): 211–220. doi:10.1007 / s11760-013-0498-2.

[1] H. M. Ozaktas, Z. Zalevsky a M. A. Kutay, Frakční Fourierova transformace s aplikacemi v optice a zpracování signálu. Wiley, New York, 2000.

[2] E. Sejdic, I. Djurovic a L. Stankovic, „Frakční Fourierova transformace jako nástroj pro zpracování signálu: Přehled nedávného vývoje,“ Signal Process., Sv. 91, s. 1351--1369, 2011.

[3] L. Stankovic, T. Alieva a M. J. Bastiaans, „Analýza časově-frekvenčních signálů založená na okenní frakční Fourierově transformaci,“ Signal Process., Sv. 83, s. 2459--2468, 2003.

[4] R. Tao, Y. Lei a Y. Wang, „Krátkodobá frakční Fourierova transformace a její aplikace,“ IEEE Trans. Signal Process., Sv. 58, s. 2568--2580, 2010.

[5] J. Shi, X.-P. Liu a N.-T. Zhang, „Na principu neurčitosti pro koncentrace signálu s frakční Fourierovou transformací,“ Signal Process., Sv. 92, s. 2830--2836, 2012.

[6] D. Mendlovic, Z. Zalevsky, D. Mas, J. Garcia a C. Ferreira, „Frakční vlnková transformace“, Appl. Opt., Sv. 36, s. 4801--4806, 1997.

[7] A. Prasad a A. Mahato, „Frakční vlnková transformace v prostorech typu S,“ Integral Transform Spec. Funct., Sv. 23, č. 4, s. 237--249, 2012.

[8] Shi, J .; Zhang, N.-T .; Liu, X.-P. (2011). „Nová frakční vlnková transformace a její aplikace“. Sci. Čína Inf. Sci. 55 (6): 1270–1279. doi:10.1007 / s11432-011-4320-x.

[9] Shi, J .; Chi, Y.-G .; Zhang, N.-T. (2010). "Vícekanálové vzorkování a rekonstrukce signálů s omezeným pásmem ve zlomkové Fourierově doméně". Proces signálu IEEE. Lett. 17 (11): 909–912. doi:10.1109 / lsp.2010.2071383.

[10] L. Debnath a F. A. Shah, Wavelet Transforms and their Applications, 2. vydání, 2015, s. 14-15. URL: https://www.springer.com/cn/book/9780817684174/

[11] Shi, J .; Liu, X.-P .; Zhang, N.-T. (2015). "Multirezoluční analýza a ortogonální vlnky spojené s frakční vlnkovou transformací". Proces signálu, obrazu, videa. 9 (1): 211–220. doi:10.1007 / s11760-013-0498-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]