Frakční programování - Fractional programming - Wikipedia

v matematická optimalizace, částečné programování je zobecněním lineární-zlomkové programování. The Objektivní funkce ve zlomkovém programu je poměr dvou funkcí, které jsou obecně nelineární. Poměr, který má být optimalizován, často popisuje nějaký druh účinnosti systému.

Definice

Nechat ${ displaystyle f, g, h_ {j}, j = 1, ldots, m}$ být funkce se skutečnou hodnotou definované na množině ${ displaystyle mathbf {S} _ {0} podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$. Nechat ${ displaystyle mathbf {S} = {{ boldsymbol {x}} in mathbf {S} _ {0}: h_ {j} ({ boldsymbol {x}}) leq 0, j = 1 , ldots, m }}$. The nelineární program

${ displaystyle { underset {{ boldsymbol {x}} in mathbf {S}} { text {maximize}}} quad { frac {f ({ boldsymbol {x}})}} g { boldsymbol {x}})}},}$

kde ${ displaystyle g ({ boldsymbol {x}})> 0}$ na ${ displaystyle mathbf {S}}$, se nazývá zlomkový program.

Konkávní dílčí programy

Částečný program, ve kterém F je negativní a konkávní, G je pozitivní a konvexní a S je konvexní sada se nazývá a konkávní zlomkový program. Li G je afinní, F nemusí být omezen znakem. Lineární zlomkový program je speciální případ konkávního zlomkového programu, kde všechny funkce ${ displaystyle f, g, h_ {j}, j = 1, ldots, m}$ jsou afinní.

Vlastnosti

Funkce ${ displaystyle q ({ boldsymbol {x}}) = f ({ boldsymbol {x}}) / g ({ boldsymbol {x}})}$ je semistrictly kvazikonkávní na S. Li F a G jsou tedy rozlišitelné q je pseudokonkávní. V lineárním zlomkovém programu je objektivní funkce pseudolinear.

Transformace na konkávní program

Transformací ${ displaystyle { boldsymbol {y}} = { frac { boldsymbol {x}} {g ({ boldsymbol {x}})}}}; t = { frac {1} {g ({ boldsymbol { X}})}}}$, jakýkoli konkávní zlomkový program lze transformovat na ekvivalent bez parametrů konkávní program ^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} { underset {{ frac { boldsymbol {y}} {t}} in mathbf {S} _ {0}} { text {maximize}}} quad & tf left ({ frac { boldsymbol {y}} {t}} right) { text {předmět}} quad & tg left ({ frac { boldsymbol {y}} {t}} right) leq 1, & t geq 0. end {zarovnáno}}}$

Li G je afinní, první omezení se změní na ${ displaystyle tg ({ frac { boldsymbol {y}} {t}}) = 1}$ a předpoklad, že F je nezáporné může být upuštěno.

Dualita

Lagrangeový duální ekvivalentní konkávní program je

${ displaystyle { begin {aligned} { underset { boldsymbol {u}} { text {minimal}}} quad & { underset {{ boldsymbol {x}} in mathbf {S} _ { 0}} { operatorname {sup}}} { frac {f ({ boldsymbol {x}}) - { boldsymbol {u}} ^ {T} { boldsymbol {h}} ({ boldsymbol {x }})} {g ({ boldsymbol {x}})}}} { text {předmět}} quad & u_ {i} geq 0, quad i = 1, dots, m. end {zarovnaný}}}$

Poznámky

Reference

• Avriel, Mordechaj; Diewert, Walter E .; Schaible, Siegfried; Zang, Izrael (1988). Zobecněná konkávnost. Plenum Press.
• Schaible, Siegfried (1983). "Částečné programování". Zeitschrift für Operations Research. 27: 39–54. doi:10.1007 / bf01916898.