Rozšíření topologické skupiny - Extension of a topological group

v matematika, konkrétněji v topologické skupiny, rozšíření topologických skupinnebo topologické rozšíření, je krátká přesná sekvence ${ displaystyle 0 to H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G to 0}$ kde ${ displaystyle H, X}$ a ${ displaystyle G}$ jsou topologické skupiny a ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle pi}$ jsou spojité homomorfismy, které jsou rovněž otevřené pro své obrazy.^[1] Každé rozšíření topologických skupin je tedy a rozšíření skupiny.

Klasifikace rozšíření topologických skupin

Říkáme, že topologické rozšíření

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

a

${ displaystyle 0 to H { stackrel {i '} { rightarrow}} X' { stackrel { pi '} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

jsou rovnocenné (nebo shodné), pokud existuje topologický izomorfismus ${ displaystyle T: X až X '}$ tvorba komutativní schéma na obrázku 1.

Obrázek 1

Říkáme, že topologické rozšíření

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

je rozdělené rozšíření (nebo se rozdělí), pokud je ekvivalentní s triviálním rozšířením

${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i_ {H}} { rightarrow}} H krát G { stackrel { pi _ {G}} { rightarrow}} G rightarrow 0}$

kde ${ displaystyle i_ {H}: H až H krát G}$ je přirozené začlenění nad první faktor a ${ displaystyle pi _ {G}: H krát G až G}$ je přirozená projekce nad druhým faktorem.

Je snadné dokázat, že topologické rozšíření ${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$ rozděluje se tehdy a jen tehdy, pokud existuje nepřetržitý homomorfismus ${ displaystyle R: X rightarrow H}$ takhle ${ Displaystyle R Circ}$ je mapa identity na ${ displaystyle H}$

Všimněte si, že topologické rozšíření ${ displaystyle 0 rightarrow H { stackrel {i} { rightarrow}} X { stackrel { pi} { rightarrow}} G rightarrow 0}$ rozdělí se, pouze pokud je to podskupina ${ displaystyle i (H)}$ je topologický přímý součet z ${ displaystyle X}$

Příklady

• Vzít ${ displaystyle mathbb {R}}$ the reálná čísla a ${ displaystyle mathbb {Z}}$ the celá čísla. Vzít ${ displaystyle imath}$ přirozené začlenění a ${ displaystyle pi}$ přirozená projekce. Pak

${ displaystyle 0 to mathbb {Z} { stackrel { imath} { to}} mathbb {R} { stackrel { pi} { to}} mathbb {R} / mathbb {Z } až 0}$

je rozšíření topologických abelianských skupin. Ve skutečnosti je to příklad nerozdělitelného rozšíření.

Rozšíření lokálně kompaktních abelianských skupin (LCA)

Rozšíření topologických abelianských skupin bude krátkou přesnou sekvencí ${ displaystyle 0 to H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G to 0}$ kde ${ displaystyle H, X}$ a ${ displaystyle G}$ jsou místně kompaktní abelianské skupiny a ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle pi}$ jsou relativně otevřené spojité homomorfismy.^[2]

• Představme si rozšíření lokálně kompaktních abelianských skupin

${ displaystyle 0 to H { stackrel { imath} { to}} X { stackrel { pi} { to}} G na 0.}$

Vzít ${ displaystyle H ^ { wedge}, X ^ { wedge}}$ a ${ displaystyle G ^ { klín}}$ the Pontryagin duals z ${ displaystyle H, X}$ a ${ displaystyle G}$ a vzít ${ displaystyle i ^ { klín}}$ a ${ displaystyle pi ^ { klín}}$ duální mapy ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle pi}$. Pak sekvence

${ displaystyle 0 to G ^ { wedge} { stackrel { pi ^ { wedge}} { to}} X ^ { wedge} { stackrel { imath ^ { wedge}} { to }} H ^ { klín} do 0}$

je rozšíření lokálně kompaktních abelianských skupin.

Reference