Pružnost intertemporální substituce - Elasticity of intertemporal substitution

Pružnost intertemporální substituce (nebo mezičasová pružnost substituce) je měřítkem schopnosti reagovat tempo růstu z spotřeba do skutečná úroková sazba.^[1] Pokud se reálná sazba zvýší, aktuální spotřeba se může snížit v důsledku zvýšené návratnosti úspor; ale současná spotřeba se také může zvýšit, protože se domácnost rozhodne konzumovat více okamžitě, protože se cítí bohatší. Čistým účinkem na spotřebu proudu je pružnost intertemporální substituce.^[2]

Matematická definice

Definice závisí na tom, zda člověk pracuje v diskrétním nebo nepřetržitém čase. Uvidíme to pro CRRA utility, dva přístupy přinášejí stejnou odpověď. Níže uvedené funkční formy předpokládají, že užitek od spotřeby je časově aditivně oddělitelný.

Diskrétní čas

Celková životnost je dána vztahem

${displaystyle U = součet _ {t = 0} ^ {T} eta ^ {t} u (c_ {t})}$

V tomto nastavení bude skutečná úroková sazba dána následující podmínkou:

${displaystyle Qu '(c_ {t}) = Q eta Ru' (c_ {t + 1})}$

Množství peněz ${displaystyle Q}$ dnes investované náklady ${displaystyle Qu '(c_ {t})}$ jednotky užitku, a proto musí v budoucnu přinést přesně takový počet jednotek užitku, pokud jsou uloženy při převládající hrubé úrokové sazbě ${displaystyle R}$. (Pokud by to přineslo více, mohl by se agent zlepšit tím, že by více ušetřil.)

Při řešení skutečné úrokové sazby to vidíme

${displaystyle R = {frac {u '(c_ {t})} {eta u' (c_ {t + 1})}}}$

V protokolech máme

${displaystyle r = -ln {left [{frac {u '(c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}} ight]} - ln {eta}}$

Protokoly jsou velmi blízké procentuálním změnám, takže můžeme interpretovat ${displaystyle r}$ jako čistá úroková sazba jako 5%, zatímco ${displaystyle R}$ je odpovídající hrubá úroková sazba jako 1,05.

Elasticita intertemporální substituce je definována jako procentní změna růstu spotřeby na procentní nárůst čisté úrokové sazby:

${displaystyle {frac {dln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {dr}}}$

Nahrazením výše uvedené logaritmické rovnice vidíme, že tato definice je ekvivalentní pružnosti růstu spotřeby s ohledem na mezní růst užitku:

${displaystyle - {frac {dln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {dln (u '(c_ {t + 1}) / u' (c_ {t}))}}}$

Každá definice je správná, ale za předpokladu, že agent optimalizuje a má časově oddělitelný nástroj.

Příklad

Nechte užitek spotřeby v období ${displaystyle t}$ být dán

${displaystyle u (c_ {t}) = {frac {c_ {t} ^ {1-sigma}} {1-sigma}}.}$

Protože tato obslužná funkce patří do rodiny CRRA užitečné funkce, které máme ${displaystyle u '(c_ {t}) = c_ {t} ^ {- sigma}.}$ Tím pádem,

${displaystyle ln left [{frac {u '(c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}} ight] = - sigma ln left [{frac {c_ {t + 1}} {c_ {těsný].}$

To lze přepsat jako

${displaystyle ln left [{frac {c_ {t + 1}} {c_ {t}}} ight] = - {frac {1} {sigma}} ln left [{frac {u '(c_ {t + 1} )} {u '(c_ {t})}} hned]}$

Z tohoto důvodu použití výše uvedeného odvozeného vzorce

${displaystyle - {frac {částečné ln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {částečné ln (u '(c_ {t + 1}) / u' (c_ {t}))}} = - left [- {frac {1} {sigma}} ight] = {frac {1} {sigma}}.}$

Nepřetržitý čas

Nechť je dána celková životnost

${displaystyle U = int _ {0} ^ {T} e ^ {- ho t} u (c_ {t}) dt}$

kde ${displaystyle c_ {t}}$ je zkratka pro ${displaystyle c (t)}$, ${displaystyle u (c (t))}$ je užitečnost spotřeby v (okamžitém) čase t a ${displaystyle ho}$ je časová diskontní sazba. Nejprve definujte míru relativní averze k riziku (to je užitečné, i když model nemá nejistotu ani riziko), protože

${displaystyle RRA = - {frac {d (u '(c_ {t}))} {d (c_ {t})}} {frac {c_ {t}} {u' (c_ {t})}} = -u '' (c_ {t}) {frac {c_ {t}} {u '(c_ {t})}}}$

pak je pružnost intertemporální substituce definována jako

${displaystyle EIS = - {frac {částečné ({dot {c}} _ {t} / c_ {t})}} částečné ({dot {u}} '(c_ {t}) / u' (c_ {t }))}} = - {frac {částečné ({tečka {c}} _ {t} / c_ {t})}} částečné (u '' (c_ {t}) {tečka {c}} _ {t } / u '(c_ {t}))}}} = {frac {částečné ({tečka {c}} _ {t} / c_ {t})}} částečné (RRAcdot ({tečka {c}} _ {t } / c_ {t}))}}} = {frac {1} {RRA}} = - {frac {u '(c_ {t})} {u' (c_ {t}) cdot c_ {t}} }}$

Pokud je užitná funkce ${displaystyle u (c)}$ je z CRRA typ:

${displaystyle u (c) = {frac {c ^ {1- heta} -1} {1- heta}}}$ (se zvláštním případem ${displaystyle heta = 1}$ bytost ${displaystyle u (c) = ln (c)}$)

pak je intertemporální elasticita substituce dána vztahem ${displaystyle {frac {1} {heta}}}$. Obecně platí, že nízká hodnota theta (vysoká mezičasová pružnost) znamená, že růst spotřeby je velmi citlivý na změny reálné úrokové míry. U theta rovné 1 odpovídá tempo růstu spotřeby jeden na jednoho změnám reálné úrokové sazby. Vysoká theta znamená necitlivý růst spotřeby.

Ramseyův růstový model

V Ramseyův růstový model, pružnost intertemporální substituce určuje rychlost přizpůsobení ustálený stav a chování míry úspory během přechodu. Pokud je pružnost vysoká, pak velké změny ve spotřebě nejsou pro spotřebitele příliš nákladné a v důsledku toho, pokud je skutečná úroková sazba vysoká, ušetří velkou část jejich příjmu. Pokud je pružnost nízká, vyhlazování spotřeby motiv je velmi silný a díky tomu spotřebitelé trochu ušetří a hodně spotřebují, pokud je skutečná úroková sazba vysoká.

Odhady

Empirické odhady elasticity se liší. Část obtíží pramení ze skutečnosti, že mikroekonomické studie dospěly k jiným závěrům než makroekonomické studie, které využívají souhrnné údaje. Metaanalýza 169 publikovaných studií uvádí průměrnou pružnost 0,5, ale také značné rozdíly mezi zeměmi.^[3]

Reference