Eisensteinův integrál - Eisenstein integral

V matematice teorie reprezentace, Eisensteinův integrál je integrál zavedený Harish-Chandra  (1970, 1972 ) v teorii reprezentace polojednoduchosti Lež skupiny, analogicky k Eisensteinova řada v teorii automorfní formy.Harish-Chandra (1975, 1976a, 1976b ) použil Eisensteinovy ​​integrály k rozložení pravidelné reprezentace polojednodušé Lieovy skupiny na reprezentace indukované z parabolických podskupin. Trombi (1989) poskytl průzkum práce Harish-Chandry na tomto tématu.

Definice

Harish-Chandra (1970, oddíl 10) definoval Eisensteinův integrál pomocí

${ displaystyle displaystyle E (P: psi: nu: x) = int _ {K} psi (xk) tau (k ^ {- 1}) exp ((i nu - rho _ {P}) H_ {P} (xk)) , dk}$

kde:

• X je prvek polojednoduché skupiny G
• P = MUŽ je vrcholová parabolická podskupina G
• ν je prvek komplexizace A
• A je Lieova algebra A v Langlandsův rozklad P = MUŽ.
• K. je maximální kompaktní podskupina G, s G = KP.
• ψ je cuspidální funkce na M, splňující některé další podmínky
• τ je konečně-rozměrná jednotná dvojitá reprezentace K.
• H_P(X) = log A kde X = kman je rozklad X v G = KMAN.

Reference

• Harish-Chandra (1970), „Harmonická analýza na polojednodušých Lieových skupinách“, Bulletin of the American Mathematical Society, 76: 529–551, doi:10.1090 / S0002-9904-1970-12442-9, ISSN  0002-9904, PAN  0257282
• Harish-Chandra (1972), „K teorii Eisensteinova integrálu“, Gulick, Denny; Lipsman, Ronald L. (eds.), Konference o harmonické analýze (Univ. Maryland, College Park, Md., 1971)Přednášky z matematiky, 266, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 123–149, doi:10.1007 / BFb0059640, ISBN  978-3-540-05856-4, PAN  0399355
• Harish-Chandra (1975), "Harmonická analýza skutečných redukčních skupin. I. Teorie konstantního členu", Journal of Functional Analysis, 19: 104–204, doi:10.1016/0022-1236(75)90034-8, PAN  0399356
• Harish-Chandra (1976a), „Harmonická analýza skutečných redukčních skupin. II. Vlněné balíčky ve Schwartzově prostoru“, Inventiones Mathematicae, 36: 1–55, doi:10.1007 / BF01390004, ISSN  0020-9910, PAN  0439993
• Harish-Chandra (1976b), "Harmonická analýza skutečných redukčních skupin. III. Maass-Selbergovy vztahy a Plancherelův vzorec", Annals of Mathematics, Druhá série, 104 (1): 117–201, doi:10.2307/1971058, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971058, PAN  0439994
• Trombi, P. C. (1989), „K teorii Harish-Chandry o Eisensteinově integrálu pro skutečné polojednoduché Lieovy skupiny“, Sally, Paul J .; Vogan, David A. (eds.), Teorie reprezentace a harmonická analýza na polojednodušých Lieových grupách, Math. Průzkumy Monogr., 31„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 287–350, ISBN  978-0-8218-1526-7, PAN  1011900