Ehrenfest model - Ehrenfest model - Wikipedia

The Ehrenfest model (nebo model blecha^[1]) z difúze byl navržen uživatelem Tatiana a Paul Ehrenfest vysvětlit druhý zákon termodynamiky. Model uvažuje N částice ve dvou nádobách. Částice nezávisle mění kontejner rychlostíλ. Li X(t) = i je definován jako počet částic v jedné nádobě najednou t, pak je to proces narození a smrti s míry přechodu

${ displaystyle q_ {i, i-1} = i , lambda}$ pro i = 1, 2, ..., N
${ displaystyle q_ {i, i + 1} = (N-i ,) lambda}$ pro i = 0, 1, ..., N – 1

a rovnovážné rozdělení ${ displaystyle pi _ {i} = 2 ^ {- N} { tbinom {N} {i}}}$ .

Mark Kac v roce 1947 dokázal, že pokud počáteční stav systému není rovnovážný, pak entropie, dána

{ Displaystyle H (t) = - součet _ {i} P (X (t) = i) log vlevo ({ frac {P (X (t) = i)} { pi _ {i} }}že jo),}

monotónně roste (H-věta ). To je důsledek konvergence k rovnovážnému rozdělení.

Interpretace výsledků

Vezměte v úvahu, že na začátku jsou všechny částice v jedné z nádob. Očekává se, že v průběhu času se počet částic v tomto kontejneru přiblíží ${ displaystyle N / 2}$ a stabilizovat se blízko tohoto stavu (kontejnery budou mít přibližně stejný počet částic). Z matematického hlediska je však návrat do počátečního stavu možný (dokonce téměř jistý). Z věty o střední rekurenci vyplývá, že i očekávaný čas do návratu do počátečního stavu je konečný a je ${ displaystyle 2 ^ {N}}$ . Pomocí Stirlingovy aproximace zjistíme, že pokud začneme v rovnováze (stejný počet částic v nádobách), očekávaný čas do návratu do rovnováhy je asymptoticky stejný jako ${ displaystyle textstyle { sqrt { pi N / 2}}}$ . Pokud předpokládáme, že částice mění nádoby rychlostí jedna za sekundu, v konkrétním případě ${ displaystyle N = 100}$ u částic, počínaje rovnováhou se očekává návrat k rovnováze v ${ displaystyle 13}$ sekund, zatímco začíná konfigurace ${ displaystyle 100}$ v jednom z kontejnerů, ${ displaystyle 0}$ na druhé straně se očekává návrat k tomuto stavu ${ displaystyle 4 cdot 10 ^ {22}}$ let. To předpokládá, že i když je to teoreticky jisté, je nepravděpodobné, že by došlo k návratu do původního vysoce nepřiměřeného stavu.

Reference

^ Nauenberg, M. (2004). „Vývoj záření směrem k tepelné rovnováze: Rozpustný model, který ilustruje základy statistické mechaniky“. American Journal of Physics. 72 (3): 313–323. arXiv:cond-mat / 0305219. Bibcode:2004AmJPh..72..313N. doi:10.1119/1.1632488.

F.P. Kelly Reverzibilita a stochastické sítě (Wiley, Chichester, 1979) ISBN 0-471-27601-4 [1] str. 17–20
„Ehrenfestův model difúze.“ Encyklopedie Britannica (2008)
Paul und Tatjana Ehrenfest. Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem. Physikalische Zeitschrift, sv. 8 (1907), str. 311–314.

[1] Nauenberg, M. (2004). „Vývoj záření směrem k tepelné rovnováze: Rozpustný model, který ilustruje základy statistické mechaniky“. American Journal of Physics. 72 (3): 313–323. arXiv:cond-mat / 0305219. Bibcode:2004AmJPh..72..313N. doi:10.1119/1.1632488.

[1]