Dynkinův index - Dynkin index

v matematika, Dynkinův index

${displaystyle x_ {lambda}}$

reprezentace s nejvyšší váhou ${displaystyle | lambda |}$ kompaktního jednoduchého Lež algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ který má nejvyšší váha ${displaystyle lambda}$ je definováno

${displaystyle {m {tr}} (t_ {a} t_ {b}) = 2x_ {lambda} g_ {ab}}$

hodnoceno v reprezentaci ${displaystyle | lambda |}$. Tady ${displaystyle t_ {a}}$ jsou matice představující generátory a ${displaystyle g_ {ab}}$ darováno

${displaystyle {m {tr}} (t_ {a} t_ {b}) = 2g_ {ab}}$

vyhodnoceno v definující reprezentaci.

Zjištěním stopy to zjistíme

${displaystyle x_ {lambda} = {frac {dim | lambda |} {2dim {mathfrak {g}}}} (lambda, lambda + 2ho)}$

Kde Weyl vektor

${displaystyle ho = {frac {1} {2}} součet _ {alfa v Delta ^ {+}} alfa}$

se rovná polovině součtu všech pozitivní kořeny z ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Výraz ${displaystyle (lambda, lambda + 2ho)}$ je hodnota kvadratického Kazimíra v reprezentaci ${displaystyle | lambda |}$. Index ${displaystyle x_ {lambda}}$ je vždy kladné celé číslo.

V konkrétním případě, kdy ${displaystyle lambda}$ je nejvyšší kořen, znamenající, že ${displaystyle | lambda |}$ je adjunkční reprezentace, ${displaystyle x_ {lambda}}$ se rovná duální číslo coxeteru.

Reference

• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal, Konformní teorie pole1997 Springer-Verlag New York, ISBN  0-387-94785-X