Nerovnost Dvoretzky – Kiefer – Wolfowitz - Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality

Výše uvedený graf ukazuje příklad aplikace nerovnosti DKW při konstrukci hranic spolehlivosti (fialově) kolem empirické distribuční funkce (světle modře). V tomto náhodném losování je pravý CDF (oranžový) zcela obsažen v mezích DKW.

V teorii pravděpodobnost a statistika, Nerovnost Dvoretzky – Kiefer – Wolfowitz hranice, jak blízko empiricky určená distribuční funkce bude na distribuční funkce ze kterých jsou čerpány empirické vzorky. Je pojmenován po Aryeh Dvoretzky, Jack Kiefer, a Jacob Wolfowitz, který v roce 1956 prokázal nerovnost nespecifikovanou multiplikativní konstantouC před exponentem na pravé straně.^[1] V roce 1990 Pascal Massart dokázala nerovnost s ostrou konstantou C = 2,^[2] potvrzení domněnky kvůli Birnbaum a McCarty.^[3]

Nerovnost DKW

Vzhledem k přirozenému číslu n, nechť X₁, X₂, …, X_n mít skutečnou hodnotu nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné s kumulativní distribuční funkce F(·). Nechat F_n označit přidružené empirická distribuční funkce definován

${displaystyle F_ {n} (x) = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {1} _ {{X_ {i} leq x}}, qquad xin mathbb { R}.}$

Tak ${displaystyle F (x)}$ je pravděpodobnost že a singl náhodná proměnná ${displaystyle X}$ je menší než ${displaystyle x}$, a ${displaystyle F_ {n} (x)}$ je zlomek náhodných proměnných, které jsou menší než ${displaystyle x}$.

Nerovnost Dvoretzky – Kiefer – Wolfowitz omezuje pravděpodobnost, že náhodná funkce F_n se liší od F o více než danou konstantu ε > 0 kdekoli na skutečné lince. Přesněji řečeno, existuje jednostranný odhad

${displaystyle Pr {Bigl (} sup _ {xin mathbb {R}} {igl (} F_ {n} (x) -F (x) {igr)}> varepsilon {Bigr)} leq e ^ {- 2nvarepsilon ^ { 2}} qquad {ext {for every}} varepsilon geq {sqrt {{frac {1} {2n}} ln 2}},}$

což také znamená oboustranný odhad^[4]

${displaystyle Pr {Bigl (} sup _ {xin mathbb {R}} | F_ {n} (x) -F (x) |> varepsilon {Bigr)} leq 2e ^ {- 2nvarepsilon ^ {2}} qquad {ext {for every}} varepsilon> 0.}$

To posiluje Glivenkova – Cantelliho věta vyčíslením rychlost konvergence tak jako n inklinuje k nekonečnu. Rovněž odhaduje pravděpodobnost ocasu Statistika Kolmogorov – Smirnov. Výše uvedené nerovnosti vyplývají z případu, kdy F odpovídá rovnoměrné rozdělení dne [0,1] s ohledem na skutečnost^[5]že F_n má stejné distribuce jako G_n(F) kde G_n je empirické rozděleníU₁, U₂, …, U_n kde jsou nezávislé a jednotné (0,1), a upozorňujeme na to

${displaystyle sup _ {xin mathbb {R}} | F_ {n} (x) -F (x) |; {stackrel {d} {=}}; sup _ {xin mathbb {R}} | G_ {n} (F (x)) - F (x) | leq sup _ {0leq tleq 1} | G_ {n} (t) -t |,}$

s rovností právě tehdy F je spojitý.

Budování pásem CDF

Nerovnost Dvoretzky – Kiefer – Wolfowitz je jednou z metod pro vytváření hranic spolehlivosti založených na CDF a produkci pásmo spolehlivosti. Účelem tohoto intervalu spolehlivosti je obsáhnout celý CDF na zadané úrovni spolehlivosti, zatímco alternativní přístupy se pokoušejí dosáhnout úrovně spolehlivosti pouze v každém jednotlivém bodě, což umožňuje přísnější vazbu. Hranice DKW běží paralelně s empirickým CDF a je rovnoměrně nad i pod ním. Rovnoměrně rozmístěný interval spolehlivosti kolem empirického CDF umožňuje různé míry porušení přes podporu distribuce. Zejména je častější, že CDF je mimo vázaný CDF odhadovaný pomocí nerovnosti DKW blízko mediánu distribuce než blízko koncových bodů distribuce.

Interval, který obsahuje skutečný CDF, ${displaystyle F (x)}$, s pravděpodobností ${displaystyle 1-alpha}$ je často specifikováno jako

${displaystyle F_ {n} (x) -varepsilon leq F (x) leq F_ {n} (x) + varepsilon; {ext {where}} varepsilon = {sqrt {frac {ln {frac {2} {alpha}} } {2n}}}.}$

Viz také

• Koncentrační nerovnost - souhrn hranic na sadách náhodných proměnných.

Reference