Hustota energie bez zkreslení - Distortion free energy density

The Hustota energie bez zkreslení je veličina, která popisuje zvýšení hustoty volné energie a tekutý krystal způsobené zkreslením z jeho rovnoměrně zarovnané konfigurace. Běžně se také používá pod jménem Bezplatná hustota energie pojmenoval podle Frederick Charles Frank.

Tekutý krystal Nematic

Hustota energie bez zkreslení v nematickém tekutém krystalu je měřítkem nárůstu Helmholtzova volná energie na jednotku objemu v důsledku odchylek v orientačním uspořádání od rovnoměrně zarovnané konfigurace nematického ředitele. Celková hustota volné energie pro nematika je proto dána vztahem:

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {T} = { mathcal {F}} _ {0} + { mathcal {F}} _ {d},}$

kde ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {T}}$ je celková hustota volné energie tekutého krystalu, ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {0}}$ je hustota volné energie spojená s rovnoměrně seřazeným nematickým, a ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {d}}$ je příspěvek k hustotě volné energie v důsledku zkreslení v tomto pořadí. Pro nechirální nematické tekuté krystaly ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {d}}$ je obyčejně vzat sestávat ze tří termínů daných:

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {d} = { frac {1} {2}} K_ {1} ( nabla cdot mathbf { hat {n}}) ^ {2} + { frac {1} {2}} K_ {2} ( mathbf { hat {n}} cdot nabla times mathbf { hat {n}}) ^ {2} + { frac {1} {2}} K_ {3} ( mathbf { hat {n}} times nabla times mathbf { hat {n}}) ^ {2}.}$

Jednotkový vektor ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ je normalizovaný ředitel molekul ${ displaystyle (| mathbf { hat {n}} | = 1)}$, který popisuje povahu zkreslení. Tři konstanty ${ displaystyle K_ {i}}$ jsou známé jako Frankovy konstanty a jsou závislé na konkrétním popisovaném tekutém krystalu. Obvykle jsou v řádu ${ displaystyle 10 ^ {- 6}}$ dyn.^[1] Každý ze tří výrazů představuje druh zkreslení nematik. První člen představuje čisté roztažení, druhý člen čistý zvrat a třetí člen čistý ohyb. Kombinace těchto termínů může být použita k reprezentaci libovolné deformace v tekutém krystalu. Často se stává, že všechny tři Frankovy konstanty jsou stejného řádu, a proto se to běžně aproximuje ${ displaystyle K_ {1} = K_ {2} = K_ {3} = K}$.^[2] Tato aproximace se běžně označuje jako jedno-konstantní aproximace a používá se převážně proto, že volná energie se zjednodušuje, když je v této mnohem výpočetně kompaktnější formě:

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {d} = { frac {1} {2}} K left [( nabla cdot mathbf { hat {n}}) ^ {2} + | nabla times mathbf { hat {n}} | ^ {2} vpravo].}$

Čtvrtý člen se také běžně přidává k Frankově volné hustotě energie, která se nazývá energie sedla, která popisuje povrchovou interakci. To je často ignorováno při výpočtu konfigurací pole ředitele, protože energie v objemu tekutých krystalů jsou často větší než energie způsobené povrchem. Je to dáno:

${ displaystyle { frac {1} {2}} K_ {24} nabla cdot left [( mathbf { hat {n}} cdot nabla) mathbf { hat {n}} - mathbf { mathbf { hat {n}}} ( nabla cdot mathbf { hat {n}}) right].}$

Pokud jsou do tekutého krystalu přidány inkluze, přispívá další člen k hustotě volné energie díky jejich přítomnosti, často charakterizované termínem známým jako Rapiniho aproximace:

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {s} = - mast { frac {1} {2}} W ( mathbf { hat {n}} cdot mathbf { hat { nu} }) ^ {2} mathrm {d} S.}$

Energie ukotvení je dána vztahem ${ displaystyle W}$ a jednotkový vektor ${ displaystyle mathbf { hat { nu}}}$ je normální vůči povrchu částic.^[3]

Chirální tekutý krystal

V případě, že se tekutý krystal skládá z chirálních molekul, je k hustotě energie bez zkreslení přidán další termín. Znaménko změn výrazu, když jsou osy obrácené, je dáno vztahem

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {Ch} = k_ {2} ( mathbf { hat {n}} cdot nabla times mathbf { hat {n}}).}$

Prefaktor ${ displaystyle k_ {2}}$ je závislá na stupni molekulární chirality.^[4] Proto je v případě chirálního tekutého krystalu celková hustota volné energie dána vztahem:

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {T} = { mathcal {F}} _ {0} + { frac {1} {2}} K_ {1} ( nabla cdot mathbf { klobouk {n}}) ^ {2} + { frac {1} {2}} K_ {2} ( mathbf { hat {n}} cdot nabla times mathbf { hat {n}} + q_ {0}) ^ {2} + { frac {1} {2}} K_ {3} ( mathbf { hat {n}} times nabla times mathbf { hat {n}} ) ^ {2}.}$

Množství ${ displaystyle q_ {0} = 2 pi / P_ {0}}$ popisuje hřiště ${ displaystyle P_ {0}}$ cholesterické šroubovice.

Příspěvky elektrického a magnetického pole

V důsledku anizotropních diamagnetických vlastností mezogenů z tekutých krystalů a elektrické polarizovatelnosti mohou elektrická a magnetická pole vyvolat vyrovnání v kapalných krystalech. Použitím pole účinně snižuje volnou energii tekutého krystalu.^[5]

Abychom pochopili, jaký účinek má magnetické pole na hustotu energie bez zkreslení, malou oblast místního nematického řádu ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ je často zvažován ve kterém ${ displaystyle chi _ { perp}}$ a ${ displaystyle chi _ { paralelní}}$ je magnetická susceptibilita kolmá a rovnoběžná s ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$. Hodnota ${ displaystyle Delta chi equiv chi _ { paralelní} - chi _ { perp} = N }$, kde N je počet mezogenů na jednotku objemu. Práce na jednotku objemu provedená polem je pak dána vztahem:

${ displaystyle W_ {magnetic} = int _ {0} ^ {H} (- M _ { perp} sin { theta} -M _ { paralelní} cos { theta}) , dH = - { frac {H ^ {2}} {2}} ( chi _ { perp} + Delta chi cos { theta} ^ {2}),}$

kde:

${ displaystyle M _ { paralelní} = H chi _ { paralelní} cos { theta}}$

${ displaystyle M _ { perp} = H chi _ { perp} sin { theta}.}$

Protože ${ displaystyle - { frac {H ^ {2} chi _ { perp}} {2}}}$ termín je prostorově neměnný, lze jej ignorovat, a tak magnetický příspěvek k hustotě volné energie zkreslení dosáhne:

${ displaystyle - { frac { Delta chi} {2}} [ mathbf {H} cdot mathbf { hat {n}}] ^ {2}.}$

Z podobných argumentů lze najít příspěvek elektrického pole k energii bez zkreslení a je dán vztahem:

${ displaystyle - { frac { Delta epsilon} {8 pi}} [ mathbf {E} cdot mathbf { hat {n}}] ^ {2}.}$

Množství ${ displaystyle Delta epsilon equiv epsilon _ { paralelní} - epsilon _ { perp}}$ je rozdíl mezi lokálními dielektrickými konstantami kolmými a rovnoběžnými s ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$.

Poznámky

Reference

• Chaikin, Paul M.; Lubensky, Tom C. (1995). Principy fyziky kondenzovaných látek. Cambridge University Press. ISBN  0-521-43224-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Chandrasekhar, Sivaramakrishna (1992). Tekuté krystaly (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-41747-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• de Gennes, Pierre-Gilles; Prost, J. (10. srpna 1995). Fyzika kapalných krystalů (2. vyd.). Oxford University Press. ISBN  0-19-851785-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kamien, Randall D .; Selinger, Jonathan V. (22. ledna 2001). "Řád a frustrace v chirálních kapalných krystalech". Journal of Physics: Condensed Matter. 13 (3). arXiv:cond-mat / 0009094. Bibcode:2001JPCM ... 13R ... 1K. doi:10.1088/0953-8984/13/3/201.
• Kuksenok, O. V .; Ruhwandl, R. W .; Shiyanovskii, S. V .; Terentjev, E. M. (listopad 1996). "Struktura ředitele kolem koloidní částice suspendované v nematickém tekutém krystalu". Fyzický přehled E. 54 (5): 5198–5203. Bibcode:1996PhRvE..54,5198K. doi:10.1103 / PhysRevE.54.5198.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Priestley, E. B .; Wojtowicz, Peter J .; Sheng, Ping (1975). Úvod do kapalných krystalů. Plenum Press. ISBN  0-306-30858-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)