Vzdálenost mezi dvěma přímkami - Distance between two straight lines

The vzdálenost mezi dvěma paralelní řádky v letadlo je minimální vzdálenost mezi dvěma body ležícími na přímkách. Rovná se kolmý vzdálenost od jakékoli směřovat na jednom řádku na druhý řádek.

V případě neparalelního koplanárního protínající se čáry je vzdálenost mezi nimi nulová. U neparalelních a neplanárních linií (šikmé čáry ) lze vypočítat nejkratší vzdálenost mezi nejbližšími body.

Vzorec a důkaz

Protože jsou čáry rovnoběžné, je kolmá vzdálenost mezi nimi konstantní, takže nezáleží na tom, který bod je zvolen pro měření vzdálenosti. Vzhledem k rovnicím dvou nevislých rovnoběžek

${ displaystyle y = mx + b_ {1} ,}$

${ displaystyle y = mx + b_ {2} ,,}$

vzdálenost mezi dvěma úsečkami je vzdálenost mezi dvěma průsečíky těchto úseček s kolmou úsečkou

${ displaystyle y = -x / m ,.}$

Tuto vzdálenost lze zjistit nejprve řešením lineárních systémů

${ displaystyle { begin {cases} y = mx + b_ {1} y = -x / m ,, end {cases}}}$

a

${ displaystyle { begin {cases} y = mx + b_ {2} y = -x / m ,, end {cases}}}$

získat souřadnice průsečíků. Řešení lineárních systémů jsou body

${ displaystyle left (x_ {1}, y_ {1} right) = left ({ frac {-b_ {1} m} {m ^ {2} +1}}, { frac {b_ {1}} {m ^ {2} +1}} vpravo) ,,}$

a

${ displaystyle left (x_ {2}, y_ {2} right) = left ({ frac {-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}}, { frac {b_ {2}} {m ^ {2} +1}} vpravo) ,.}$

Vzdálenost mezi body je

${ displaystyle d = { sqrt { vlevo ({ frac {b_ {1} m-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}} vpravo) ^ {2} + vlevo ({ frac {b_ {2} -b_ {1}} {m ^ {2} +1}} vpravo) ^ {2}}} ,,}$

což se snižuje na

${ displaystyle d = { frac {| b_ {2} -b_ {1} |} { sqrt {m ^ {2} +1}}} ,.}$

Když jsou řádky dány

${ displaystyle ax + by + c_ {1} = 0 ,}$

${ displaystyle ax + by + c_ {2} = 0, ,}$

vzdálenost mezi nimi lze vyjádřit jako

${ displaystyle d = { frac {| c_ {2} -c_ {1} |} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}$

Viz také

• Vzdálenost od bodu k přímce
• Šikmé čáry # Vzdálenost

Reference

• Vydrž V: Schülerduden - Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, ISBN  3-411-04275-3, str. 17-19 (německy)
• Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra. Diesterweg, 1988, ISBN  3-425-05301-9, str. 298 (německy)

externí odkazy

• Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung - Wann welche Formel?, str. 44-59 (německy)
• A. J. Hobson: „JUST THE MATHS“ - ČÍSLO JEDNOTKY 8,5 - VEKTORY 5 (Vektorové rovnice přímek), s. 8-9