Diskretizace Navier-Stokesových rovnic - Discretization of Navier–Stokes equations - Wikipedia

Diskretizace z Navier-Stokesovy rovnice je přeformulování rovnic takovým způsobem, aby mohly být použity výpočetní dynamika tekutin. Lze použít několik metod diskretizace.

Metoda konečného objemu

Nestlačitelný tok

Začínáme s nestlačitelnou formou rovnice hybnosti. Rovnice byla rozdělena hustotou (P = p / ρ) a hustota byla absorbována do tělesné síly.

${ displaystyle { frac { částečné u_ {i}} { částečné t}} + { frac { částečné u_ {i} u_ {j}} { částečné x_ {j}}} = - { frac { částečné P} { částečné x_ {i}}} + nu { frac { částečné ^ {2} u_ {i}} { částečné x_ {j} částečné x_ {j}}} + f_ { já}}$

Rovnice je integrována do řídicího objemu výpočetní buňky.

${ displaystyle iiint _ {V} vlevo [{ frac { částečné u_ {i}} { částečné t}} + { frac { částečné u_ {i} u_ {j}} { částečné x_ { j}}} vpravo] dV = iiint _ {V} vlevo [- { frac { částečné P} { částečné x_ {i}}} + nu { frac { částečné ^ {2} u_ {i}} { částečné x_ {j} částečné x_ {j}}} + f_ {i} pravé] dV}$

Časově závislý člen a člen tělesné síly se předpokládají konstantní v celém objemu buňky. The věta o divergenci se aplikuje na podmínky advekce, tlakového gradientu a difúze.

${ displaystyle { frac { částečné u_ {i}} { částečné t}} V + iint _ {A} u_ {i} u_ {j} n_ {j} dA = - iint _ {A} Pn_ { i} dA + iint _ {A} nu { frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {j}}} n_ {j} dA + f_ {i} V}$

kde n je normála povrchu kontrolního objemu a PROTI je objem. Pokud je řídícím objemem mnohostěn a hodnoty se předpokládají konstantní na každé ploše, lze integrály oblasti zapsat jako součty na každé ploše.

${ displaystyle { frac { částečné u_ {i}} { částečné t}} V + součet _ {nbr} doleva (u_ {i} u_ {j} n_ {j} A doprava) _ {nbr} = - sum _ {nbr} left (Pn_ {i} A right) _ {nbr} + sum _ {nbr} left ( nu { frac { parciální u_ {i}} { parciální x_ {j}}} n_ {j} A vpravo) _ {nbr} + f_ {i} V}$

kde dolní index nbr označuje hodnotu na libovolném daném obličeji.

Dvourozměrná rovnoměrně rozmístěná kartézská mřížka

U dvourozměrné kartézské mřížky lze rovnici rozšířit na

${ displaystyle { začátek {zarovnáno} & { frac { částečné u_ {i}} { částečné t}} Delta x Delta y- doleva (u_ {i} u Delta y doprava) _ { w} + left (u_ {i} u Delta y right) _ {e} - left (u_ {i} v Delta x right) _ {s} + left (u_ {i} v Delta x right) _ {n} = & - left (Pn_ {i} Delta y right) _ {w} - left (Pn_ {i} Delta y right) _ {e} - left (Pn_ {i} Delta x right) _ {s} - left (Pn_ {i} Delta x right) _ {n} & - left ( nu { frac { částečné u_ {i}} { částečné x}} Delta y pravé) _ {w} + levé ( nu { frac { částečné u_ {i}} { částečné x}} Delta y pravé) _ {e} - left ( nu { frac { částečné u_ {i}} { částečné y}} Delta x pravé) _ {s} + left ( nu { frac { částečné u_ {i}} { částečné y}} Delta x vpravo) _ {n} + f_ {i} end {zarovnáno}}}$

Na rozložená mřížka, rovnice x-hybnosti je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & { frac { částečné u} { částečné t}} Delta x Delta y- vlevo (uu Delta y vpravo) _ {w} + vlevo (uu Delta y right) _ {e} - left (uv Delta x right) _ {s} + left (uv Delta x right) _ {n} = & + left (P Delta y right) _ {w} - left (P Delta y right) _ {e} - left ( nu { frac { partial u} { partial x}} Delta y right) _ {w} + left ( nu { frac { částečné u} { částečné x}} Delta y pravé) _ {e} - left ( nu { frac { částečné u} { částečné y}} Delta x vpravo) _ {s} + vlevo ( nu { frac { částečné u} { částečné y}} Delta x pravé) _ {n} + f_ {x} konec {zarovnáno}}}$

a rovnice hybnosti y je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & { frac { částečné v} { částečné t}} Delta x Delta y- vlevo (vu Delta y vpravo) _ {w} + vlevo (vu Delta y right) _ {e} - left (vv Delta x right) _ {s} + left (vv Delta x right) _ {n} = & + left (P Delta x right) _ {s} - left (P Delta x right) _ {n} - left ( nu { frac { partial v} { partial x}} Delta y right) _ {w} + left ( nu { frac { částečné v} { částečné x}} Delta y pravé) _ {e} - left ( nu { frac { částečné v} { částečné y}} Delta x vpravo) _ {s} + vlevo ( nu { frac { částečné v} { částečné y}} Delta x vpravo) _ {n} + f_ {y} konec {zarovnáno}}}$

Cílem v tomto bodě je určit výrazy pro nominální hodnoty pro u, proti, a P a aproximovat derivace pomocí konečný rozdíl aproximace. V tomto příkladu použijeme zpětný rozdíl pro časovou derivaci a střední rozdíl pro prostorové derivace. U obou hybných rovnic se stane časová derivace

${ displaystyle { frac { částečné u_ {i}} { částečné t}} = { frac {u_ {i} ^ {n} -u_ {i} ^ {n-1}} { Delta t} }}$

kde n je aktuální časový index a Δt je časový krok. Jako příklad prostorových derivací se stává derivace v difuzním členu západního obličeje v rovnici x-hybnosti

${ displaystyle left ({ frac { částečné u} { částečné x}} pravé) _ {w} = { frac {u_ {I, J} -u_ {I-1, J}} { Delta x}}}$

kde Já a J jsou indexy zájmové buňky x-hybnosti.