Rozložený strom s omezeným stupněm - Degree-constrained spanning tree

v teorie grafů, a klenutý klenutý strom je kostra kde maximum stupeň vrcholu je omezen na určitý konstantní k. The problém kostry s omezeným stupněm je určit, zda konkrétní graf má takový klenutý strom pro konkrétní k.

Formální definice

Vstup: n-uzlový neusměrněný graf G (V, E); pozitivní celé číslo k < n.

Otázka: Má G klenutý strom, ve kterém není uzel má stupeň větší než k?

NP-úplnost

Tento problém je NP-kompletní (Garey & Johnson 1979 ). To lze prokázat snížením z Problém hamiltonovské cesty. Zůstává NP kompletní, i když k je stanovena na hodnotu ≥ 2. Pokud je problém definován jako stupeň, musí být ≤k, k = 2 případ studiem omezeného kostry je problémem s hamiltoniánskou cestou.

Stupeň omezený minimální kostra

Na váženém grafu je minimální rozsahový strom s omezeným stupněm (DCMST) strom s omezeným rozsahem, ve kterém má součet jeho hran minimální možný součet. Nalezení DCMST je NP-Hard problém.^[1]

Byly navrženy heuristické algoritmy, které mohou vyřešit problém v polynomiálním čase, včetně genetických a mravenčích algoritmů.

Aproximační algoritmus

Fürer & Raghavachari (1994) dát iterativní polynomiální časový algoritmus, který, daný grafem ${ displaystyle G}$ , vrátí kostru s maximálním stupněm ne větším než ${ displaystyle Delta ^ {*} + 1}$ , kde ${ displaystyle Delta ^ {*}}$ je minimální možný maximální stupeň přes všechny kostry. Pokud tedy ${ displaystyle k = Delta ^ {*}}$ takový algoritmus vrátí buď kostru s maximálním stupněm ${ displaystyle k}$ nebo ${ displaystyle k + 1}$ .

Reference

^ Bui, T. N. a Zrncic, C. M. 2006. Algoritmus založený na mravencích pro nalezení minimálního kostry omezeného stupněm. In GECCO ’06: Proceedings of the 8. každoroční konference o genetických a evolučních výpočtech, strany 11–18, New York, NY, USA. ACM.

Garey, Michael R.; Johnson, David S. (1979), Počítače a neodolatelnost: Průvodce po teorii NP-úplnosti, W.H. Freemane, ISBN 978-0-7167-1045-5. A2.1: ND1, str. 206.
Fürer, Martin; Raghavachari, Balaji (1994), „Přibližování Steinerova minimálního stupně na jeden z optimálních“, Journal of Algorithms, 17 (3): 409–423, CiteSeerX 10.1.1.136.1089, doi:10.1006 / jagm.1994.1042.

[1] Bui, T. N. a Zrncic, C. M. 2006. Algoritmus založený na mravencích pro nalezení minimálního kostry omezeného stupněm. In GECCO ’06: Proceedings of the 8. každoroční konference o genetických a evolučních výpočtech, strany 11–18, New York, NY, USA. ACM.

[1]