Počítač pro operace s funkcemi - Computer for operations with functions

A počítač pro operace s (matematickými) funkcemi (na rozdíl od obvyklých počítač ) pracuje s funkce na Hardware úrovni (tj. bez programování těchto operací).^[1]^[2]^[3]

Dějiny

Počítačový stroj pro operace s funkcemi představil a vyvinul Michail Kartsev v roce 1967.^[1] Mezi operace tohoto výpočetního stroje patřily funkce sčítání, odčítání a násobení, porovnání funkcí, stejné operace mezi funkcí a číslem, hledání maxima funkce, výpočet neurčitý integrál, výpočetní určitý integrál z derivát dvou funkcí, derivace dvou funkcí, posun funkce podél osy X atd architektura tento výpočetní stroj byl (s využitím moderní terminologie) a vektorový procesor nebo procesor pole, a centrální procesorová jednotka (CPU), která implementuje instrukční sadu obsahující instrukce, které pracují jednorozměrná pole volaných dat vektory. V něm byla použita skutečnost, že mnoho z těchto operací může být interpretováno jako známá operace na vektorech: sčítání a odčítání funkcí - jako sčítání a odčítání vektorů, výpočet určitého integrálu dvou derivací funkcí - jako výpočet vektorového produktu dvou vektorů, posun funkce podél osy X - jako rotace vektoru kolem os atd.^[1] V roce 1966 navrhl Khmelnik metodu kódování funkcí,^[2] tj. reprezentace funkcí pomocí „uniformního“ (pro funkci jako celek) pozičního kódu. A tak jsou zmíněné operace s funkcemi prováděny jako jedinečné počítačové operace s takovými kódy na „jediném“ aritmetická jednotka.^[3]

Poziční kódy funkcí s jednou proměnnou ^[2]^[3]

Hlavní myšlenka

Poziční kód celočíselného čísla ${ displaystyle A}$ je číselná notace číslic ${ displaystyle alpha}$ v jistém systém pozičních čísel formuláře

{ displaystyle A = alpha _ {0} alpha _ {1} dots alpha _ {k} dots alpha _ {n}}

.

Takový kód lze nazvat „lineární“. Na rozdíl od toho poziční kód jedné proměnné ${ displaystyle x}$ funkce ${ displaystyle F (x)}$ má formu:

{ displaystyle F (x) = { začátek {pmatrix} & & cdots & & alpha _ {22} cdots alpha _ {2k} cdots & alpha _ { 11} & alpha _ {12} cdots alpha _ {1k} cdots alpha _ {00} & alpha _ {01} & alpha _ {02} cdots alpha _ {0k} cdots end {pmatrix}}}

a tak to je byt a „trojúhelníkový“, protože číslice v něm obsahují trojúhelník.

Hodnota pozičního čísla ${ displaystyle A}$ výše je součet

{ displaystyle A = sum _ {k = 0} ^ {n} alpha _ {k} rho ^ {k}}

,

kde ${ displaystyle rho}$ je radix uvedeného číselného systému. Poziční kód funkce s jednou proměnnou odpovídá „dvojitému“ kódu formuláře

{ displaystyle F (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} součet _ {m = 0} ^ {k} alpha _ {mk} R ^ {k} y ^ {km} (1 -y) ^ {m}}

,

kde ${ displaystyle R}$ je celé číslo kladné číslo, množství přijatých hodnot ${ displaystyle alpha}$ , a ${ displaystyle y}$ je určitá funkce argumentu ${ displaystyle x}$ .

Přidání pozičních kódů čísel je spojeno s nést převést na vyšší číslici podle schématu

{ displaystyle alpha _ {k} longrightarrow alpha _ {k + 1}}

.

Přidání pozičních kódů funkcí jedné proměnné je také spojeno s přenosem přenosu na vyšší číslice podle schématu:

{ displaystyle { begin {pmatrix} & alpha _ {k + 1, m + 1} nearrow & alpha _ {k, m} longrightarrow & alpha _ {k + 1, m} end {pmatrix}}}

.

Zde se stejný přenos provádí současně dva vyšší číslice.

R-nary trojúhelníkový kód

Nazývá se trojúhelníkový kód R-nary (a je označen jako ${ displaystyle TK_ {R}}$ ), pokud jsou čísla ${ displaystyle alpha _ {mk}}$ vzít jejich hodnoty ze sady

{ displaystyle D_ {R} = {- r_ {1}, - r_ {1} +1, tečky, -1,0,1, tečky, r_ {2} -1, r_ {2} } }

, kde

{ displaystyle r_ {1}, ; r_ {2} geq 0}

a

{ displaystyle R _ {} ^ {} = r_ {1} + r_ {2} +1}

.

Například trojúhelníkový kód je ternární kód ${ displaystyle TK_ {3}}$ , pokud ${ displaystyle alpha _ {mk} v (-1,0,1)}$ a kvartérní ${ displaystyle TK_ {4}}$ , pokud ${ displaystyle alpha _ {mk} v (-2, -1,0,1)}$ .
Pro R-nární trojúhelníkové kódy jsou platné následující rovnosti:

{ displaystyle { begin {pmatrix} & 0 nearrow & aR longrightarrow & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & a nearrow & 0 longrightarrow & a end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} & a nearrow & 0 longrightarrow & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & 0 nearrow & aR longrightarrow & -a end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} & 0 nearrow & 0 longrightarrow & a end { pmatrix}} = { begin {pmatrix} & -a nearrow & aR longrightarrow & 0 end {pmatrix}}}

,

kde ${ displaystyle a}$ je libovolné číslo. Tady existuje ${ displaystyle TK_ {R}}$ libovolného celého čísla reálného čísla. Zejména, ${ displaystyle TK_ {R} ( alfa) = alfa}$ . Také existuje ${ displaystyle TK_ {R}}$ jakékoli funkce formuláře ${ displaystyle y ^ {k}}$ . Například, ${ displaystyle TK_ {R} (y ^ {2}) = (0 0 1)}$ .

Jednociferné sčítání

v pravoúhlých trojúhelníkových kódech sestává z následujících:

v daném ${ displaystyle (mk)}$ - číslice je určena částka ${ displaystyle S_ {mk} ^ {}}$ přidávaných číslic ${ displaystyle alpha _ {mk}, beta _ {mk}}$ a dva nese ${ displaystyle p_ {m, k-1}, p_ {m-1, k-1}}$ , přenesené do této číslice zleva, tj.

{ displaystyle S_ {mk} ^ {} = alpha _ {mk} + beta _ {mk} + p_ {m, k-1} + p_ {m-1, k-1}}

,

tato částka je uvedena ve formuláři ${ displaystyle S_ {mk} ^ {} = sigma _ {mk} + Rp_ {mk}}$ , kde ${ displaystyle sigma _ {mk} v D_ {R}}$ ,
${ displaystyle sigma _ {mk}}$ je napsán v ${ displaystyle (mk)}$ - číslice souhrnného kódu a přenos ${ displaystyle p_ {mk}}$ z dané číslice je přeneseno do ${ displaystyle (m, k + 1)}$ - číslice a ${ displaystyle (m + 1, k + 1)}$ -číslice.

Tento postup je popsán (stejně jako u jednociferného sčítání čísel) tabulkou s jednociferným sčítáním, kde jsou všechny hodnoty výrazů ${ displaystyle alpha _ {mk} v D_ {R}}$ a ${ displaystyle beta _ {mk} v D_ {R}}$ musí být přítomny a všechny hodnoty nosných se objevují při rozkladu součtu ${ displaystyle S_ {mk} ^ {} = sigma _ {mk} + Rp_ {mk}}$ . Taková tabulka může být syntetizována pro ${ displaystyle R> 2.}$
Níže jsme napsali tabulku jednociferného sčítání pro ${ displaystyle R = 3}$ :

Smk	TK(Smk)		${ displaystyle sigma _ {mk} ^ {}}$	${ displaystyle p_ {mk} ^ {}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Jednociferné odčítání

v pravoúhlých trojúhelníkových kódech se liší od jednociferného sčítání pouze tím, že v daném ${ displaystyle (mk)}$ - číslici hodnoty ${ displaystyle S_ {mk} ^ {}}$ je dáno vzorcem

{ displaystyle S_ {mk} ^ {} = alpha _ {mk} - beta _ {mk} + p_ {m, k-1} + p_ {m-1, k-1}}

.

Jednociferné dělení parametrem R.

v pravoúhlých trojúhelníkových kódech je založeno na použití korelace:

{ displaystyle { begin {pmatrix} & a nearrow & 0 longrightarrow & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & 0 nearrow & aR longrightarrow & -a end {pmatrix}}}

,

z toho vyplývá, že rozdělení příčin každé číslice nese dvě nejnižší číslice. Výsledek číslic v této operaci je tedy součtem kvocientu z dělení této číslice R a dvou nese ze dvou nejvyšších číslic. Když se tedy dělí parametrem R.

v daném ${ displaystyle (mk)}$ - číslice je určena následující částka

{ displaystyle S_ {mk} ^ {} = alpha _ {mk} / R-p_ {m + 1, k} / R + p_ {m + 1, k + 1}}

,

tato částka je uvedena jako ${ displaystyle S_ {mk} ^ {} = sigma _ {mk} + p_ {mk} / R}$ , kde ${ displaystyle sigma _ {mk} v D_ {R}}$ ,
${ displaystyle sigma _ {mk}}$ je zapsán do ${ displaystyle (mk)}$ —Číslice výsledného kódu a nést ${ displaystyle p_ {mk}}$ z dané číslice se přenese do ${ displaystyle (m-1, k-1)}$ - číslice a ${ displaystyle (m-1, k)}$ -číslice.

Tento postup je popsán tabulkou jednociferného dělení parametrem R, kde jsou všechny hodnoty členů a všechny hodnoty přenášených, objevující se při rozkladu součtu ${ displaystyle S_ {mk} ^ {} = sigma _ {mk} + p_ {mk} / R}$ , musí být přítomen. Taková tabulka může být syntetizována pro ${ displaystyle R> 2.}$
Pod tabulkou bude pro jednociferné dělení uveden parametr R pro ${ displaystyle R = 3}$ :

Smk	TK(Smk)		${ displaystyle sigma _ {mk} ^ {}}$	${ displaystyle p_ {mk} ^ {}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Sčítání a odčítání

R-Nary trojúhelníkových kódů spočívá (jako v pozičních kódech čísel) v následně provedených jednociferných operacích. Pamatujte, že jednociferné operace ve všech číslicích každého sloupce jsou prováděny současně.

Násobení

R-nary trojúhelníkových kódů. Násobení kódu ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ podle ${ displaystyle (mk)}$ - číslice jiného kódu ${ displaystyle TK_ {R} '' ^ {}}$ spočívá v ${ displaystyle (mk)}$ - posun kódu ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ , tj. jeho posun k sloupců vlevo a m řádků nahoru. Násobení kódů ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ a ${ displaystyle TK_ {R} '' ^ {}}$ spočívá v následném ${ displaystyle (mk)}$ - posuny kódu ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ a přidání posunutého kódu ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ s dílčím produktem (jako v pozičních kódech čísel).

Derivace

R-nary trojúhelníkových kódů. Derivace funkce ${ displaystyle F (x)}$ , definované výše, je

{ displaystyle { frac { částečné F (x)} { částečné x}} = { frac { částečné y} { částečné x}} { frac { částečné F (x)} { částečné y }}}

.

Takže odvození trojúhelníkových kódů funkce ${ displaystyle F (x)}$ spočívá v určení trojúhelníkového kódu parciální derivace ${ displaystyle { frac { částečné F (x)} { částečné y}}}$ a jeho násobení známým trojúhelníkovým kódem derivace ${ displaystyle { frac { částečné y} { částečné x}}}$ . Určení trojúhelníkového kódu parciální derivace ${ displaystyle { frac { částečné F (x)} { částečné y}}}$ je založen na korelaci

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné x}} { begin {pmatrix} & & 0 & 0 & alpha _ {mk} 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} = { begin { pmatrix} & & (km) alpha _ {mk} & 0 & (k-2m) alpha _ {mk} 0 & 0 & (- m) alpha _ {mk} end {pmatrix}}}

.

Metoda odvození spočívá v organizování přenosů z mk-číslice do (m + 1, k) -digit a do (m-1, k) -digit a jejich součet v dané číslici se provádí stejným způsobem jako v jednom přidání číslice.

Kódování a dekódování

R-nary trojúhelníkových kódů. Funkce představovaná řadou formuláře

{ displaystyle F (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} A_ {k} y ^ {k}}

,

s celočíselnými koeficienty ${ displaystyle A_ {k}}$ , mohou být pro tyto koeficienty a funkce reprezentovány R-nary trojúhelníkovými kódy ${ displaystyle y ^ {k}}$ mít R-nary trojúhelníkové kódy (které byly zmíněny na začátku sekce). Na druhou stranu může být R-nary trojúhelníkový kód reprezentován uvedenou řadou jako jakýkoli termín ${ displaystyle alpha _ {mk} R ^ {k} y ^ {k} (1-y) ^ {m}}$ v pozičním rozšíření funkce (odpovídající tomuto kódu) může být reprezentováno podobnou řadou.

Zkrácení

R-nary trojúhelníkových kódů. Toto je název operace snižování počtu "nenulových" nula sloupců. Nutnost zkrácení se objevuje při vzniku nositelů za číslicí sítí. Zkrácení spočívá v dělení parametrem R. Všechny koeficienty řady představované kódem jsou zkráceny R časy a zlomkové části těchto koeficientů jsou zahozeny. První termín série je také vyřazen. Taková redukce je přijatelná, pokud je známo, že řada funkcí konverguje. Zkrácení spočívá v následně provedených jednociferných operacích dělení parametrem R. Jednociferné operace ve všech číslicích řádku jsou prováděny současně a nosiče ze spodního řádku jsou vyřazeny.

Měřítko

R-nary trojúhelníkový kód je doprovázen měřítkem M, podobně jako exponent pro číslo s plovoucí desetinnou čárkou. Faktor M umožňuje zobrazit všechny koeficienty kódované řady jako celočíselná čísla. Faktor M se při zkrácení kódu vynásobí R. U sčítacích faktorů M musí být jeden z přidaných kódů zkrácen. Pro násobení se násobí také faktory M.

Poziční kód pro funkce mnoha proměnných ^[4]

Poziční kód pro funkci dvou proměnných je znázorněn na obrázku 1. Odpovídá „trojitému“ součtu tvaru :: ${ displaystyle F (x, v) = součet _ {k = 0} ^ {n} součet _ {m1 = 0} ^ {k} součet _ {m2 = 0} ^ {k} alfa _ { m1, m2, k} R ^ {k} y ^ {k-m1} (1-y) ^ {m1} z ^ {k-m2} (1-z) ^ {m2}}$ ,
kde ${ displaystyle R}$ je celé číslo kladné číslo, počet hodnot obrázku ${ displaystyle alpha _ {m1, m2, k}}$ , a ${ displaystyle y (x), ~ z (v)}$ - určité funkce argumentů ${ displaystyle x, ~ v}$ odpovídajícím způsobem. Na obrázku 1 uzly odpovídají číslicím ${ displaystyle alpha _ {m1, m2, k}}$ a v kruzích hodnoty indexů ${ displaystyle {m1, m2, k}}$ jsou zobrazeny odpovídající číslice. Poziční kód funkce dvou proměnných se nazývá „pyramidální“. Poziční kód se nazývá R-nary (a označuje se jako ${ displaystyle PK_ {R}}$ ), pokud jsou čísla ${ displaystyle alpha _ {m1, m2, k}}$ předpokládejme hodnoty ze sady ${ displaystyle D_ {R}}$ . Po přidání kódů ${ displaystyle PK_ {R}}$ přenos se rozšiřuje na čtyři číslice, a tedy ${ displaystyle R geq 7}$ .

Poziční kód funkce z několika proměnných odpovídá součtu formuláře

{ displaystyle F (x_ {1}, ldots, x_ {i}, ldots, x_ {a}) = sum _ {k = 0} ^ {n} sum _ {m_ {1} = 0} ^ {k} ldots sum _ {m_ {a} = 0} ^ {k} ( alpha _ {m_ {1}, ldots, m_ {a}, k} R ^ {k} prod _ { i = 1} ^ {a} (y_ {i} ^ {k-m_ {i}} (1-y_ {i}) ^ {m_ {i}}))}

,

kde ${ displaystyle R}$ je celé číslo kladné číslo, počet hodnot číslice ${ displaystyle alpha _ {m_ {1}, ldots, m_ {a}, k}}$ , a ${ displaystyle y_ {i} (x_ {i})}$ určité funkce argumentů ${ displaystyle x_ {i}}$ . Poziční kód funkce několika proměnných se nazývá „hyperpyramidální“. Na obrázku 2 je znázorněn například poziční hyperpyramidový kód funkce tří proměnných. Na něm uzly odpovídají číslicím ${ displaystyle alpha _ {m1, m2, m3, k}}$ a kruhy obsahují hodnoty indexů ${ displaystyle {m1, m2, m3, k}}$ odpovídající číslice. Poziční hyperpyramidový kód se nazývá R-nary (a je označen jako ${ displaystyle GPK_ {R}}$ ), pokud jsou čísla ${ displaystyle alpha _ {m_ {1}, ldots, m_ {a}, k}}$ předpokládejme hodnoty ze sady ${ displaystyle D_ {R}}$ . Při přidání kódů ${ displaystyle GPK_ {R}}$ nošení pokračuje A-rozměrná kostka, obsahující ${ displaystyle 2 ^ {a}}$ číslice, a tedy ${ displaystyle R geq (2 ^ {a-1} -1)}$ .

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Malinovskij, B.N. (1995 (viz také zde http://www.sigcis.org/files/SIGCISMC2010_001.pdf a anglická verze zde )). Historie počítačové technologie v jejich tvářích (v ruštině). Kiew: Firma „KIT“. ISBN 5-7707-6131-8. Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)
^ ^A ^b ^C Khmelnik, S.I. (1966 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s7.pdf viz také zde v ruštině)). "Kódování funkcí". 4. Kybernetika, Akademie věd SSSR. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc); Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)
^ ^A ^b ^C Khmelnik, S.I. (2004 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s7.pdf viz také zde v ruštině)). Počítačová aritmetika funkcí. Algoritmy a návrh hardwaru. Izrael: „Matematika v počítačích“. ISBN 978-0-557-07520-1. Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)
^ Khmelnik, S.I. (1970 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s17.pdf viz také zde v ruštině)). Msgstr "Několik typů kódů pozičních funkcí". 5. Kybernetika, Akademie věd SSSR. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc); Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)

[Malinovsky-1] A ^b ^C Malinovskij, B.N. (1995 (viz také zde http://www.sigcis.org/files/SIGCISMC2010_001.pdf a anglická verze zde )). Historie počítačové technologie v jejich tvářích (v ruštině). Kiew: Firma „KIT“. ISBN 5-7707-6131-8. Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)

[Khmelnik1-2] A ^b ^C Khmelnik, S.I. (1966 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s7.pdf viz také zde v ruštině)). "Kódování funkcí". 4. Kybernetika, Akademie věd SSSR. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc); Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)

[Khmelnik2-3] A ^b ^C Khmelnik, S.I. (2004 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s7.pdf viz také zde v ruštině)). Počítačová aritmetika funkcí. Algoritmy a návrh hardwaru. Izrael: „Matematika v počítačích“. ISBN 978-0-557-07520-1. Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)

[Khmelnik3-4] Khmelnik, S.I. (1970 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s17.pdf viz také zde v ruštině)). Msgstr "Několik typů kódů pozičních funkcí". 5. Kybernetika, Akademie věd SSSR. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc); Zkontrolujte hodnoty data v: | rok = (Pomoc)

[1]

[2]

[3]

[4]